Наполовину мертвый кот

Дендример — название говорящее. Это макромолекула, похожая на дерево[25], точнее на его крону. Только подобия в дендримере еще больше — в кроне дерева ветки разные: ближе к стволу — толще, дальше от ствола — тоньше; в дендримере все веточки одинаковые и структура — строго регулярная (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Графическое представление структуры дендримера[26]

«Ну и что, — скажет читатель. — В чем же особенность такой структуры? Похожа на кристалл, только немного странный». Странный — да, но не немного!

Дендример — фрактал. Хоть фракталы часто встречаются в нашей жизни, то, что они не такие, как обычные тела, поняли относительно недавно. Считается, что самым первым примером фрактала была береговая линия острова. Бенуа Мандельброт[27] в 1967 г. задался вопросом: какова длина береговой линии, например, острова Великобритания[28]? Взял карту и измерил. Получил результат. Ему бы на этом успокоиться, но он взял карту большего масштаба, т. е. подробнее. Измерил. Результат получился другой — линия оказалась много длиннее! Тогда Мандельброт взял карту еще большего масштаба, еще более подробную. И опять длина линии здорово увеличилась. Ученый задумался: что же получается — у линии нет длины? Действительно, чем подробнее будет карта, тем больший результат мы получим. И никакой из результатов изменений, даже последний, не будет верным, потому что можно взять карту еще подробнее.

Чтобы это понять, рассмотрим кривую под названием кривая Коха[29]. Такая кривая строится так, как на рис. 2.2.

Сначала кривая выглядит как на рис. 2.2, а. Она состоит из четырех одинаковых прямых. По краям (первая и последняя трети) — прямые, а в средней трети две прямые, соединенные «треугольником». Длина такой кривой — ⁴/₃, если за единицу принять длину основания кривой. Теперь давайте заменим каждую из четырех прямых линий на такую же, но уменьшенную в масштабе. Получится как на рис. 2.2, б. Длина линии составит (⁴/₃)². Можно продолжать процесс замены прямых на уменьшенную кривую. На следующей стадии замены (рис. 2.2, в)

линия будет более изрезанной, а длина ее составит (⁴/₃)³ на следующей стадии — (⁴/₃)⁴. И так без конца. Длина линии бесконечна. Чем больше мы ее дробим, тем она длиннее. А теперь представьте, что мы рассматриваем эту кривую, нарисованную на карте. Мелких деталей не видно — длина кривой конечна. Но вот мы взяли карту с лучшим разрешением — и детали проявились. И длина увеличилась. Если разрешение увеличить втрое, проявится следующая часть структуры кривой, ведь так мы ее строили — каждый шаг связан с уменьшением масштаба втрое. А длина кривой на карте (в увеличенном масштабе) увеличится в 4 раза (

⁴/₃×3). Если увеличить масштаб карты в 3 или 10 раз, то длина обычной, привычной нам кривой увеличится также — соответственно в 3 или 10 раз. А для фрактала это не так! При изменении масштаба в k раз наблюдаемая длина нашего фрактала увеличится в k^4/3 раз. Для обычной кривой — в k¹ раз. Эта маленькая единичка и есть размерность обычной кривой — она одномерна.

Рис. 2.2 Алгоритм построения кривой Коха[30]

Для площади наш показатель был бы равен двойке. Если линейные размеры увеличить в k раз, то площадь увеличится в k²

раз. Для объема — показатель 3. Двойка и тройка — размерность (соответственно) площади и объема. А наш фрактал имеет дробную размерность — ⁴/₃ [31]. Он, конечно, не плоскость, но уже и не линия! Фракталы-линии бывают разные. И размерности у них тоже разные — между единицей и двойкой.

Наш дендример — такой же фрактал, только объемный. Если его увеличить в к раз, то его «поверхность» увеличится быстрее, чем в k² раз — размерность его поверхности между двойкой и тройкой. Таковы, например, хорошо известные нам снежинки: эксперименты показали, что размерность их «поверхности» между 2,7 и 2,8.

Сказанное не есть какая-то экзотика. Это источник серьезной метрологической проблемы. Метрология — это наша способность надежно и точно измерять длины, площади, количества, а также другие свойства всего того, с чем мы имеем дело. Метрология подобна аптекарю или, вернее, фармацевту, точно отвешивающему на своих весах строгие количества. И вот здесь этот аптекарь дает маху и не только в переносном смысле.

Дело в том, что среди разнообразных применений дендримеров есть и «аптекарское». Дендримеры используются как средство адресной доставки лекарств в клетки и органы человека. И доставит дендример лекарство точно туда, куда нужно: в нужную ткань, нужные клетки. Но сколько? Как быть с дозировкой? Количество лекарства, переносимого дендримером, зависит от его поверхности. А какова она? Разная, как и длина береговой линии. Удивительно, но слон и муха действительно живут в мире с разными длинами одной и той же береговой линии. Для мухи она много длиннее — из-за деталей, скрытых для слона. Так и площадь дендримера может зависеть от размера молекул, им переносимых. И дозировки будут разными!