Нечеткая логика

Бертран Рассел привел пример мужской головы, обрамленной волосами, и задал вопрос, был ли мужчина лысым. Если мы будем состригать волосы с мужской головы по частям и то и дело задаваться вопросом, лысый ли мужчина, то не сможем утвердительно ответить на данный вопрос до тех пор, пока не сострижем все волосы с головы мужчины. Парадокс кучи звучит и выглядит более логично, поскольку в нем мы можем наблюдать последовательность фактов. Например: ваш мозг жив? Да. А если мы убьем одну его живую клетку, будет ли он все еще являться живым? Да. Мы продолжим задавать вопросы до тех пор, пока, в конечном итоге, спрашивать будет уже не о чем. Теперь попробуем перевернуть игру наоборот и представим, что мы имеем дело с безжизненным замороженным мозгом, к которому применили умную армию нечетких роботов, которые в свою очередь являются специалистами в области молекулярной инженерии и восстанавливают молекулы в мертвых клетках мозга и оживляют их. Мозг мертв? Да, он все еще мертв. Восстановим еще одну его клетку, затем еще одну, словно механик часть за частью чинит разбитую машину, и в конечном итоге ваш мозг снова живет, и вы снова живете. Что-то вроде этого случается каждое утро, когда мы просыпаемся и переходим от сна к бодрости.

Эти примеры могут показаться смешными и изобретательными для подтверждения утверждения о том, что все включает Парадокс Кучи. Поэтому рассмотрим любую старую вещь, сделанную из чего угодно. Рассмотрим камень или стул, планету или вовсе Вселенную. Они сделаны из молекул. Вещи и люди – это просто наборы молекул, мешки с атомами. Некоторые молекулы принадлежат к веществу, а остальные – нет. По крайней мере, согласно двухвалентной логике. Молекулы, выходящие за границы предмета, бросают вызов классификации.

Проще говоря, Парадокс Кучи состоит в следующем: если мы рассмотрим кучу песка, из которого постепенно удаляются песчинки, то можно построить рассуждение, используя утверждения: 1000000 песчинок – это куча песка; куча песка минус одна песчинка – это по-прежнему куча песка.

Если без остановки продолжать второе действие, в конечном счете это приведет к тому, что куча окажется состоящей из одной песчинки. На первый взгляд есть несколько способов избежать этого заключения. Можно возразить первой предпосылке, сказав, что миллион песчинок – это не куча. Но вместо 1000000 может быть сколь угодно другое большое число, а второе утверждение будет верным при любом числе с любым количеством нулей.

Таким образом, ответ должен прямо отрицать существование таких вещей, как куча. Кто-то может возразить второй предпосылке, заявив, что она верна не для всех «коллекций зерна» и что удаление одного зерна или песчинки все еще оставляет кучу кучей. Или же может заявить о том, что куча песка может состоять из одной песчинки.

Нечеткая логика берет «парадокс» из парадокса кучи. Это сводится к простой арифметике: умножьте кучу определений и получите определенность. Умножьте кучу неопределенностей, и получите сложную неопределенность. Чем больше неопределенностей вы умножаете, тем больше неопределенностей получаете. Бивалентность гласит, что утверждение «мозг жив» истинно на 100 %. Нечеткая логика или многозначность считает, что это правда в некоторой степени, менее 100 %, сначала, возможно, 99 % истинно, и в конечном итоге только 1 % истинно, когда, допустим, уже почти все клетки мозга мертвы.

Мораль: чем больше шагов в нашем вопросе, тем сложнее опрос. Когда мы спускаемся по лестнице выводов, выводов Шерлока Холмса, каждый шаг становится менее уверенным, менее безопасным, менее убедительным. Чем дольше он объясняется, тем меньше мы доверяем ему. Лучшим аргументом является прямое доказательство или опыт.

А как же дело обстоит с математическими рассуждениями? Они остаются двухвалентными. Они следуют по цепочке 100 %-ной уверенности и точности. Факт А влечет за собой факт В с точностью, факт В с точностью влечет за собой факт С, и так далее, пока дело не дойдет до определенного вывода. Математики часто судят о «глубине» теоремы по количеству шагов в ее доказательстве.

В 1976 году компьютер проверил тысячи случаев, чтобы доказать теорему о четырех цветах, согласно которой возможно окрасить карту только четырьмя цветами, если страны, разделяющие границы, должны иметь разные цвета. «Глубокая теорема» означает твердое доказательство, и это обычно означает длительное доказательство. Парадокс Кучи напоминает нам, что блуждать по просторам математики – совсем другое дело, нежели теоретически блуждать по просторам Вселенной.

Нечеткая логика основывается на двухвалентном рассуждении математики. Мы используем много маленьких черно-белых кирпичиков для построения математической теории серости. Тогда возникает вопрос: можем ли мы найти математическое утверждение, которое является серым? Проблема несоответствия (вызов Хемингуэя) заставляет нас отказаться от поиска утверждения о мире, которое является определенным, черно-белым описанием серой вещи. Но как насчет обратного? Можем ли мы найти серое описание черно-белой математики?