Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Объем при этом действительно сохраняется, но тот же самый объем может теперь истончиться и распределиться по обширной области фазового пространства. Практически аналогичная картина будет наблюдаться в случае с капелькой чернил, попавшей в большую емкость с водой. В то время, как реальный объем чернильной жидкости остается неизменным, она постепенно истончается, распределяясь по всему объему емкости. Вероятно, подобным образом ведет себя и исходная область  R₀в фазовом пространстве. Она не обязательно должна расплываться по

всемуфазовому пространству (эта предельная ситуация известна под названием «эргодической») — но вполне может в конце концов занять область, значительно превышающую ее первоначальный объем. (Дальнейшее обсуждение см. в книге: Дэвис [1974].)

Трудность заключается в том, что сохранение объема отнюдь не влечет за собой сохранение формы: малые области имеют тенденцию деформироваться, и их деформации простираются на большие расстояния. В многомерных пространствах проблема расплывания начальной области гораздо более серьезна, чем в пространствах малой размерности, так как «направлений», по которым расплываются отдельные части нашей области, гораздо больше. На самом деле, вместо того, чтобы «помочь» нам держать область R

_tпод контролем, теорема Лиувилля создает фундаментальную проблему! Не будь теоремы Лиувилля, можно было бы представить, что бесспорная тенденция к расплыванию области в фазовом пространстве могла бы (при соответствующих обстоятельствах) компенсироваться уменьшением полного объема. Но теорема Лиувилля говорит нам, что такое уменьшение невозможно, и нам остается только мириться с таким поразительным свойством — универсальным для всех классических динамических (гамильтоновых) систем нормального типа!

[113]

Помня о неизбежном расплывании исходной области в фазовом пространстве, уместно спросить: а как в таком случае вообще возможно делать предсказания в классической механике? Это действительно непростой вопрос. Расплывание начальной области говорит нам о том, что независимо от степени точности, с которой мы знаем начальное состояние системы (конечно, в разумных пределах), тенденция к возрастанию погрешностей со временем сделает нашу исходную информацию практически бесполезной. В этом смысле классическая механика в принципе непредсказуема. (Вспомним введенное выше понятие «хаоса».)

Чем же в таком случае объяснить явный успех ньютоновской механики? Говоря о небесной механике (т. е. движении небесных тел под действием сил гравитации), в качестве наиболее вероятной причины можно назвать, наверное, то, что, во-первых, небесная механика занимается изучением сравнительно небольшого числа связанных тел (Солнца, планет и их естественных спутников — лун), между которыми имеется большой разброс по массе, поэтому в первом приближении возмущающим действием менее массивных тел на более массивные можно пренебречь и рассматривать только взаимодействие нескольких

массивных тел друг на друга; во-вторых, законы движения, применимые к отдельным частицам, образующим эти тела, как нетрудно видеть, работают и на уровне самих тел, вследствие чего с очень хорошим приближением Солнце, планеты и луны можно, в свою очередь, рассматривать как частицы и не беспокоиться по поводу малых движений отдельных составляющих небесных тел! [114]И снова нам удается свести все к рассмотрению системы из «небольшого» количества тел, где расплывание начальной области в фазовом пространстве становится несущественным.

Помимо небесной механики и поведения запущенных тел (камней, пуль, ядер, и т. д.), что можно рассматривать как ее частный случай, а также изучения простых систем, содержащих небольшое число частиц, — основные методы, использовавшиеся ньютоновской механикой, очевидно, не могут быть вообще отнесены к разряду «детерминистско-предсказуемых» в том смысле, о котором мы говорили выше. Общую ньютоновскую схему используют скорее для построения моделей, изучение которых позволяет делать выводы о поведении системы в целом. Некоторые точные следствия из законов движения, такие, как законы сохранения энергии, импульса и углового момента, действительно выполняются на любых масштабах. Кроме того, существуют статистические свойства, которые можно комбинировать с динамическими законами, управляющими отдельными частицами, и использовать их для общего прогнозирования поведения системы. (См. обсуждение термодинамики в главе 7; эффект расплывания в фазовом пространстве, рассмотрением которого мы занимались выше, находится в достаточно тесной взаимосвязи со вторым началом термодинамики — и при соблюдении надлежащей осторожности эти идеи действительно можно использовать для прогнозирования.) Искусно проделанное самим Ньютоном вычисление скорости звука в воздухе (слегка подправленное столетие спустя Лапласом) — хороший тому пример. Но весьма редко случается, чтобы детерминизм, присущий ньютоновской (или, в более широком смысле, гамильтоновой) динамике, реально использовался на практике.