Объясняя мир. Истоки современной науки

График значений этого уравнения, в котором одна координата пропорциональна квадрату другой, имеет вид параболы.

Обратите внимание, что если ружье было расположено на высоте h над землей, то пуля пролетит по горизонтали расстояние (2v^2h/g) до того, как упадет на землю в момент, когда вертикальный перепад высоты z сравняется с h. Даже не зная значений v или g, Галилей мог убедиться, что путь, проходимый пулей, представляет собой параболу, измеряя расстояния d для различных начальных высот ствола ружья h и проверяя, что d всегда остается пропорциональным квадратному корню из h. Неизвестно, проделывал ли Галилей такие эксперименты на самом деле, но есть свидетельства, что в 1608 г. он провел близкий по смыслу эксперимент, о котором мы кратко говорили в главе 12. В нем шарик скатывался по наклонной плоскости на стол с различных начальных высот H, затем свободно катился по оставшейся горизонтальной поверхности стола и, наконец, слетал с его края. Как показано в техническом замечании 25, скорость шарика в момент достижения им нижней точки наклонной плоскости равна:

где g – обычное значение 9,8 м/с за секунду, а  – отношение энергии вращения шарика к его кинетической энергии, постоянная, зависящая от распределения массы внутри катящегося шарика. Для твердотельного шара равномерной плотности = 2/5. Ту же самую скорость шарик имеет и в тот момент, когда соскакивает с края стола, поэтому горизонтальное расстояние, которое шарик после этого пролетит за то время, которое ему потребуется, чтобы упасть на глубину h, будет равно:

Галилей не упоминал поправку на вращательное движение, выражаемую коэффициентом , но он мог подозревать, что наличие такой поправки уменьшает горизонтальное расстояние, которое преодолевает шар, поскольку он не стал сравнивать это расстояние с величиной d = (Hh), которую можно было бы ожидать, не учитывая , а лишь проверял тот факт, что для фиксированной высоты стола h пройденное расстояние

d было действительно пропорционально (H) с точностью до нескольких процентов. По каким-то причинам Галилей так ни разу и не опубликовал результаты этого эксперимента.

Для множества задач в астрономии и математике удобно представлять параболу как предельный частный случай эллипса, один фокус которого находится очень далеко от другого. Как демонстрировалось в техническом замечании 18, уравнение эллипса с большой осью 2a и малой осью 2b таково:

В нем мы для удобства выполнения дальнейшего анализа заменили координаты x и у, которые использовали в техническом замечании 18, на z – z₀ и x, соответственно, где z₀ – произвольно выбираемая константа. Центр этого эллипса находится в точке с координатами z = z₀ и x = 0. Как мы видели в замечании 18, фокус эллипса находится в точке z – z₀ = -ae, x = 0, где e – эксцентриситет, определяемый как e^2 1 - b

^2/a^2, а точка, в которой кривая находится ближе всего к этому фокусу, расположена в z - z₀ = -a и x = 0. Удобнее обозначить именно эту точку наибольшего сближения с фокусом координатами z = 0 и x = 0, выбрав значение z₀ равным a, и в этом случае ближайший фокус окажется расположен от нее на расстоянии z = z₀ – ea = (1 – e) a. Теперь мы хотим сделать a и b бесконечно большими, так что противоположный фокус эллипса удалится в бесконечность и у нашей кривой не будет определенной максимальной координаты x, но при этом нужно, чтобы расстояние между фокусом и точкой наиболее тесного сближения с кривой (1– e) a оставалось бы конечным, так что мы задаем:

где l остается постоянной, в то время как a стремится к бесконечности. Так как e здесь предельно приближается к единице, малая полуось будет выражаться как:

Принимая, что z₀ = a, и используя эту формулу для b^2, приведем уравнение эллипса к следующему виду:

Из левой части вычитаем слагаемое a^2/a^2, а из правой – равную ему единицу. Затем обе части умножаем на a и получаем:

В случае, когда a значительно больше x, y или l, можно опустить первый член, и уравнение приходит к виду:

Это то же самое уравнение, которое мы выше вывели для описания движения горизонтально выстреливаемой пули, если мы примем, что:

так что фокус параболы F находится на расстоянии l = v^2/2g ниже начальной позиции пули (см. рис. 19).

Рис. 19. Параболическая траектория пули, которой стреляют горизонтально с возвышенности. Точка F – фокус параболы.

Параболы, как и эллипсы, можно рассматривать как конические сечения, но в случае параболы плоскость, которой рассекается конус, параллельна поверхности конуса. Принимая, что уравнение конуса, центральная ось которого совпадает с осью z, имеет вид (x^2 + y^2) = (z - z₀), а уравнение плоскости, параллельной данному конусу, просто y = (z - z₀), где z₀ – произвольная константа, кривая пересечения конуса и плоскости удовлетворяет равенству:

Сокращая члены ^2z^2 и ^2z₀^2, переходим к виду: