Основы теории аргументации

В частности, классическая логика говорит, что из противоречия логически следует все, что угодно. Например, из противоречивого утверждения «Токио — большой город, и Токио не является большим городом» следуют, наряду с любыми другими, утверждения: «Математическая теория множеств непротиворечива», «Луна сделана из зеленого сыра» и т.п. Но между исходным утверждением и этими, якобы вытекающими из него утверждениями нет никакой содержательной связи. Здесь явный отход от обычного, или интуитивного, представления о следовании. Точно также обстоит дело и с классическим положением, что логические законы вытекают из любых утверждений. Наш логический опыт отказывается признать, что, скажем, утверждение «Лед холодный или лед не холодный» можно вывести из утверждений типа «Два меньше трех» или «Аристотель был учителем Александра Македонского». Следствие, которое выводится, должно быть как-то связано по своему содержанию с тем, из чего оно выводится. Классическая логика пренебрегает этим очевидным обстоятельством.

Указанные парадоксы, касающиеся логического следования, имеют место и в интуиционистской логике. Но в последней не действует закон исключенного третьего, несомненный д ля классической логики. Отбрасывается также ряд других логических законов, позволяющих доказывать существование объектов, которые нельзя построить или вычислить. В число отвергаемых попадают, в частности, закон снятия двойного отрицания и закон приведения к абсурду, дающий право утверждать, что математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию. Это означает, что доказательство, проведенное с использованием классической логики не обязательно будет считаться также доказательством с точки зрения интуиционистской логики.

Более совершенное, чем классическое и интуиционистское, описание логического следования было дано релевантной логикой. Ей удалось, в частности, исключить стандартные парадоксы логического следования. Предложены также многие другие теории логического следования. С каждой из них связано свое понимание доказательства.

Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство. «Нигде нет настоящих доказательств, — писал Б.Паскаль, — кроме как в науке геометров и там, где ей подражают»[65]. Под «геометрией» Паскаль имел в виду, как это .было обычным в его время, всю математику.