Открытое общество и его враги

В этом, а также в следующем примечании мы выскажем несколько соображений о парадоксах, особенно о парадоксе лжеца. Предваряя эти замечания, следует сказать, что так называемые «логические» или «семантические» парадоксы не являются в настоящее время просто игрушками логиков. Они имеют значение не только для развития математики, но важны и для других областей интеллектуальной деятельности. Например, существует определенная связь между этими парадоксами и такими проблемами, как парадокс свободы (см. прим. 20 к гл. 17 и прим. 4, 6 к гл. 7), который имеет большое значение в политической философии. В пункте 4 настоящего примечания будет показано, что различные парадоксы суверенитета (см. прим. б к гл. 7 и соответствующий текст) очень похожи на парадокс лжеца. Я не намерен рассматривать современные методы разрешения этих парадоксов (точнее — методы конструирования языков, в которых эти парадоксы не возникают), поскольку это выходит за рамки настоящей книги.

(1) Парадокс лжеца может быть сформулирован различными способами. Вот один из них. Предположим, некто говорит в один прекрасный день: «Все, что я сказал сегодня — ложь» или более точно: «Все высказывания, сделанные мною сегодня, — ложны» и после этого весь остаток дня он больше ничего не произносит. Если теперь мы зададимся вопросом, истинно ли то, что высказал этот человек, мы обнаружим следующее: если предположить, что сказанное им истинно, то принимая во внимание, что он сказал, мы должны будем признать, что сказанное им является ложью. Если же исходить из того, что сказанное им было ложью, то принимая во внимание, что он сказал, мы должны будем придти к выводу, что сказанное им истинно.

(2) Парадоксы иногда называют «противоречиями». При этом, однако, совершается некоторая ошибка. Обычное противоречие (или самопротиворечивое утверждение) представляет собой не что иное, как логически ложное утверждение, подобное предложению: «Платон был счастлив вчера, и неверно, что Платон был счастлив вчера». Если мы признаем, что такое утверждение является ложным, дальнейших трудностей у нас не возникнет. Относительно парадокса же мы не можем, не попадая в затруднительное положение, сказать ни того, что парадоксальное высказывание истинно, ни того, что оно ложно.

(3) Существуют, однако, утверждения, близкие к парадоксам, которые тем не менее представляют собой лишь самопротиворечивые высказывания. Возьмем, к примеру, высказывание: «Все высказывания являются ложными». Если допустить, что это высказывание истинно, то приняв во внимание, о чем в нем говорится, мы в результате придем к выводу, что оно ложно. Однако, если предположить, что оно является ложным, в затруднительное положение мы не попадем, поскольку такое предположение приведет нас только к признанию, что не все высказывания ложны или, другими словами, что существуют высказывания, по крайней мере одно высказывание, которое истинно. Однако такой результат не представляет для нас опасности, поскольку он не влечет за собой признания того, что наше исходное утверждение истинно. (Он не влечет за собой признания, что мы на самом деле можем сконструировать свободный от парадоксов язык, в котором удалось бы сформулировать высказывания типа «Все высказывания являются ложными» или «Все высказывания являются истинными».)

Вопреки тому обстоятельству, что высказывание «Все предложения являются ложными» в действительности не представляет собой парадокса, это высказывание можно, если хотите, назвать «разновидностью парадокса лжеца», поскольку между ними существует определенное сходство. К тому же следует заметить, что древнегреческая формулировка этого парадокса (критянин Зпименид сказал: «Все критяне — лжецы») является на самом деле «разновидностью парадокса лжеца», то есть противоречием, а не парадоксом (см. следующее примечание, а также прим. 54 к настоящей главе и соответствующий текст).

(4) Я хочу кратко продемонстрировать сходство между парадоксом лжеца и различными парадоксами суверенитета, например, приципами, согласно которым власть должна принадлежать лучшим, мудрейшим или большинству (см. прим. 6 к гл. 7 и соответствующий текст).

Э. Лэнгфорд описал множество способов построения парадокса лжеца, среди которых имеется и следующий. Рассмотрим два утверждения, сделанные двумя разными людьми А и В:

А: «То, что говорит В, — истинно».

В: «То, что говорит А, — ложь».

Применяя метод, описанный ранее, мы легко можем убедиться в том, что каждое из этих утверждений — парадоксально. Рассмотрим теперь еще два утверждения, первое из которых представляет собой принцип, согласно которому, власть должна принадлежать мудрейшим.

(A) Принцип утверждает: «То, что мудрейшие утверждают в (В), должно стать законом».

(B) Мудрейшие утверждают: «То, что утверждается принципом (А), не должно стать законом».

24.8