Параллельный перенос вектора. Критика

Поскольку мы рассматриваем картину с точки зрения 2-мерного пространства, то и векторы в нём могут лежать только в "плоскости" этого пространства, у них по определению не может быть третьей пространственной компоненты, координаты. Кроме того, мы выбираем исходное направление вектора параллельное одной из групп меридиан (параллелей), которых, наборов, очевидно, может быть любое количество.

Рис.5. Перенос вектора в искривлённом 2-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

На рисунке мы обязаны всегда вектор "накладывать" на ближайшую к нему параллель, поэтому приводим только те положения вектора, где он точно совпадает с параллелью. Промежуточные положения вектора также совпадают с промежуточными параллелями. Как видно на рис.5, никаким образом мы не сможем изменить направление вектора в его конечной точке. Меняется лишь его длина по мере продвижения в соответствии с кривизной пространства, но для обитателей этого 2-мерного пространства длина вектора неизменна и в каждой точке равна 10 единицам. На рисунке красной траектории перемещения вектора соответствуют его синие положения. Зелёной траектории – чёрные вектора. В точке А исходный вектор показан утолщённым, а в точке B – оба пришедших туда вектора немного смещены друг относительно друга, чтобы показать их оба.

Теперь рассмотрим перемещение такого же вектора искривлённом 3-мерном пространстве. Характер искривления не принципиален, поэтому возьмём его в форме гравитационной воронки нейтронной звезды.

Рис.6. Перенос вектора в искривлённом 3-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

Как и в предыдущем случае искривлённого 2-мерного пространства мы никакими ухищрениями не сможем в конечной точке перемещения векторам придать различающиеся направления. В этой конечной точке они могут иметь только одно-единственное допустимое условиями задачи направление – это направление параллели в этой точке. Поскольку вектор изначально имел направление, совпадающее с направлением параллели в представленной группе, то и в конченой точке он может иметь только точно такое же направление.

В заключение рассмотрим ещё одну аргументацию, аналитическую, которая приводит к ожидаемому расхождению направлений просто как следствие вычислений.

"Весьма существенно, что в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. В частности, отсюда следует, что если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой.

Для того чтобы уяснить это, рассмотрим двухмерное искривленное пространство, т. е. какую-нибудь кривую поверхность. На рис.19 изображен фрагмент такой поверхности, ограниченный тремя геодезическими линиями. Подвергнем вектор 1 параллельному переносу вдоль контура, образованного этими линиями. При передвижении вдоль линии АВ вектор 1, сохраняя все время одинаковый угол с этой линией, перейдет в вектор 2. При передвижении вдоль ВС он таким же образом перейдет в 3. Наконец, при движении из С в А вдоль кривой СА, сохраняя постоянный угол с этой кривой, рассматриваемый вектор перейдет в 1', не совпадающий с вектором 1.

Выведем общую формулу, определяющую изменение вектора при параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура. Это изменение ΔА_k можно записать в виде

где интеграл берётся по данному контуру. Подставляя вместо δА_k выражение (85.5), имеем

стоящий под интегралом вектор А_i меняется по мере его переноса вдоль контура" [9, с.349].

Сначала отметим очевидную, на наш взгляд, ошибку на рисунке: штрихом должен быть обозначен вектор 1, направленный вертикально. Нетрудно заметить, что этот рисунок практически тождественен нашему рис.2a. Следовательно, если, как и там, мы здесь также "срежем" верхушку траектории в точке A, то сразу же обнаружим, что вектор на самом деле не вернулся в исходную точку!

Рис.7. Перенос вектора в искривлённом 2-мерном пространстве по замкнутой траектории не меняет его направления при возвращении в исходную точку