По кругу с Землей. Коперник. Гелиоцентризм.

Модель завершают третьи сферы для Солнца и Луны, оси которых лежат в плоскости эклиптики и которые объясняют некоторые колебания светила на своей орбите в направлении север-юг. С точки зрения Евдокса, светила движутся по концентрическим сферам, объединенным в восемь групп — одна для неподвижных звезд и по одной для каждой планеты, Солнца и Луны. Таким образом, Евдокс первым объяснил попятное движение планет. Это было блестящее решение, хотя оно и оставляло открытыми некоторые вопросы, слишком сложные для IV века до н.э. Даже сегодня в компьютерных симуляциях непросто подобрать параметры модели, чтобы изобразить движение планет без упрощений.

На рисунке изображены две внутренние сферы согласно Евдоксу. Земля по-прежнему в центре.

Совместное движение обеих сфер приводит к тому, что планета описывает гиппопеду, или кривую в форме восьмерки.

Хотя эта модель кажется слишком сложной, существуют доказательства, что она применялась на практике. Так называемый антикитерский механизм, открытый в начале XX столетия и датируемый I веком до н.э., был переносным механическим калькулятором, который, кроме прочего, позволял вычислять астрономические положения. Этот инструмент был тщательно изучен, и хотя сохранились лишь его фрагменты, теперь известно, что с его помощью можно было определить движение Луны по модели Гиппарха, которого впоследствии цитировал Птолемей.

Согласование геоцентрических идей и астрономических измерений требовало введения в модель дополнительных независимо вращающихся сфер. Таким образом можно было смоделировать большую часть наблюдаемых движений Солнца и Луны, а также известных планет. И все же в этой системе оставались труднообъяснимые моменты: можно было объяснить попятное движение планет в некоторые периоды года, но не изменение их яркости. До Птолемея так и не был найден способ включить в модель этот факт.

ГИППОПЕДА

Гиппопеда — это плоская кривая, которую можно получить сечением тора плоскостью, параллельной оси тора. Если большой радиус тора — R, а малый — r, то в декартовых координатах получившуюся фигуру можно описать так:

(x²+f)

² + 4r (r-R) (x²+y²) = 4 r²

x².

Это рациональная алгебраическая бициркулярная кривая четвертого порядка, симметричная относительно двух своих осей. Первым математиком, исследовавшим эти кривые, был Евдокс. На следующем рисунке приведены примеры гиппопеды.

Слева — семейство гиппопед для случая 2 > R/r > 0,2. Справа — получение гиппопеды сечением тора плоскостью.

ВИДИМОЕ ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА