Он родился в феврале 1865 года в маленькой деревушке Сокорро, штат Нью-Мексико, в семье владельца ранчо Франсиско Баки. Спустя два года неподалеку от Сокорро обнаружили серебро, и толпы страждущих разбогатеть легко и быстро наводнили окрестности. В 1880 году, когда через Сокорро проложили железную дорогу, это уже был крупный торговый центр с населением в две тысячи человек. Отец Эльфего имел репутацию человека с твердым характером, благодаря чему вскоре стал маршалом в Белене — деревушке, расположенной неподалеку от Сокорро. Первое время служба его проходила без особых эксцессов, но в один из солнечных дней старший Бака попытался приструнить двух зарвавшихся ковбоев, в результате чего оба неугомонных пастуха остались лежать на пыльной улице с дырками в теле. Суд вынес решение, что маршал превысил свои полномочия и слишком круто обошелся с парнями. Франсиско Бака оказался за решеткой, однако пробыл там недолго. Ночью Эльфего прорезал в крыше тюрьмы дыру и вызволил отца. Бывший маршал бежал, скрываясь от закона, а его сын на всю оставшуюся жизнь возненавидел ковбоев.
К западу от Сокорро находилось небольшое поселение Сан-Франсиско
[48], сокращенно называемое местными жителями Фриско. Семьи, проживавшие в нем, были в основном мексиканского происхождения. Во Фриско часто наведывались ковбои, большая часть которых были уроженцами неспокойного Техаса. Их было много, отдыхали после трудовых будней они шумно, и их извечная нелюбовь к мексиканцам выплескивалась во время отдыха на местных жителей.В 1884 году Эльфего Баке было всего 19 лет. Он любил попрактиковаться в стрельбе, мечтал стать шерифом, но это были только мечты. Эльфего работал клерком в магазине в Сокорро и знал о творящемся во Фриско разгуле, однако поделать с этим ничего не мог. Он терпел злодеяния ковбоев, как и другие жители. Переломным моментом в жизни юноши стал октябрь 1884 года. Ковбои в очередной раз «повеселились» во Фриско — кастрировали одного мексиканца, а затем использовали другого в качестве мишени. И тогда Эльфего не выдержал. Он отправился к помощнику шерифа Педро Саррасино и прямо заявил, что ему, как законнику, должно быть стыдно, если подобные злодеяния сойдут ковбоям с рук. Но помощник шерифа боялся вмешиваться, понимая, что попытка арестовать виновных навлечет на него гнев всех остальных ковбоев. Позднее Эльфего говорил, что сам назначил себя помощником шерифа, но это не так. Во Фриско он прибыл с письменным свидетельством, выписанным шерифом графства Сокорро Педро Симпсоном и датированным 26 октября.
Едва прибыв во Фриско, Эльфего стал свидетелем того, как один из ковбоев — Чарли Маккарти, будучи в изрядном подпитии, открыл в салуне пальбу, а затем пару раз ударил другого ковбоя по голове рукоятью револьвера. На предложение Баки утихомириться, Маккарти по-техасски ненавязчиво прострелил ему шляпу.
Бака был в ярости, но решил действовать законным путем. Однако мировой судья отказался выдать ему ордер на арест Маккарти, опасаясь возможных неприятностей со стороны друзей нарушителя спокойствия.
— В этом графстве найдется мексиканец, который не боится американского ковбоя, — решительно заявил мировому судье Эльфего и арестовал дебошира самостоятельно.
Молодой помощник шерифа еще не знал, какие неприятности ждут его впереди. Тем же вечером, 28 октября, дюжина ковбоев попыталась освободить своего пьяного друга. Завязалась перестрелка, в которой пострадали два человека со стороны нападавших — Паркхэм был раздавлен собственной лошадью, а Тэйбу Эллиену пуля раздробила колено. К утру поползли слухи, что мексиканские фермеры и горожане вооружаются, чтобы вырезать белое население. На рассвете из ближайшего городка примчался помощник шерифа Дэн Бечнол и, к своему удивлению, ничего подозрительного не заметил. Ковбои пили в салуне, а мексиканцы не проявляли никаких признаков агрессии. Проскакавший полночи Бечнол отправился спать, тем временем предводитель техассцев — старший ковбой с ранчо «Дабл-Ю-Си» Джим Кук, послал двух человек переговорить с Эльфего Бакой и его друзьями, державшими Маккарти в одном из частных домов. Было решено, что Баке позволят сопроводить дебошира к месту судебного разбирательства. Несмотря на толпу изрыгающих проклятия ковбоев, короткое, но чрезвычайно опасное путешествие Эльфего и его друзей до Фриско прошло без особых эксцессов. Чарли Маккарти был признан виновным в непристойном поведении, оштрафован на пять долларов и отпущен. Когда выносилось судебное решение, Бака уже понимал, что ковбои попытаются расквитаться за арест Маккарти и смерть Пархэма. Он тихо улизнул.