Пределы роста. 30 лет спустя

Поначалу оба вида роста ведут себя похожим образом, но в один прекрасный момент взрывной характер экспоненциального роста себя проявит (рис. 2.3). Через 20 лет в копилке будет 240 долларов, тогда как на банковском счете почти 400 долларов. К концу тридцатого года линейный рост в копилке даст всего 310 долларов, а банковский вклад под 7 % годовых будет располагать суммой в 761 доллар. За 30 лет экспоненциальный рост под 7 % годовых обеспечил разницу в сравнении с линейным ростом больше чем вдвое, хотя стартовая сумма была одинаковая.

В конце пятидесятого года сумма в банке будет в 6,5 раза больше, чем в копилке — разница составит почти 2500 долларов.

Удивительные результаты экспоненциального роста на протяжении столетий приводили людей в восхищение. Существует старая персидская легенда об одном мудром придворном, который подарил своему повелителю прекрасно отделанную шахматную доску, а взамен попросил дать ему 1 зернышко риса за первую клетку, 2 зернышка за вторую, 4 за третью и т. д.

Повелитель согласился и приказал нести рис из кладовых. Для четвертой клетки шахматной доски потребовалось 8 зерен, для десятой — 512, для пятнадцатой — 16 384, а для двадцать первой — уже больше миллиона. К сорок первой клетке число зерен превысило триллион (10¹²

). Чтобы расплатиться за все 64 клетки доски, не хватило бы всех запасов риса в мире.

Детская французская загадка иллюстрирует другую характерную черту экспоненциального роста — внезапность, с которой экспоненциально растущая величина достигает определенного предела. Предположим, у вас есть пруд, в котором растет одна кувшинка. Каждый день число кувшинок удваивается. Если позволить им расти бесконтрольно, за 30 дней они покроют всю поверхность пруда, уничтожив в нем все другие формы жизни. Но поначалу кажется, что кувшинок не так уж и много, так что они не вызывают у вас беспокойства, по крайней мере пока не заполонят половину пруда. На какой день это произойдет и сколько времени у вас будет, чтобы спасти пруд?

На спасение пруда у вас будет всего один день, потому что кувшинки покроют половину поверхности на 29-й день. На следующий день, после финального удвоения, пруд будет покрыт ими полностью. Это только поначалу кажется разумным отложить принятие мер до того момента, когда пруд будет закрыт кувшинками наполовину. На 21-й день растения покрывают примерно 0,2 % поверхности. На 25-й день закрыто 3 % зеркала воды. И все равно при таком подходе на спасение пруда у вас будет всего один день[17]

.

Из этого примера видно, каким образом экспоненциальный рост в сочетании с запаздыванием реакции может привести к выходу за пределы. Поначалу долгое время рост кажется незначительным, никто и не думает, что это может вызвать какие-то проблемы. Но затем он становится все быстрее и быстрее, пока за последние одно-два удвоения время на реагирование не истечет. В развитии событий в пруду с кувшинками за последний день не происходит никаких принципиальных изменений, процент роста был постоянным весь месяц, от начала и до конца. Просто получается, что в определенный момент экспоненциальный рост набирает такую силу, что справиться с ним уже невозможно.

Особенности экспоненциального роста, его переход от незначительных величин к выходу за пределы можно попробовать на себе. Представьте себе, что вам надо съесть один орешек в первый день месяца, два — во второй день, четыре — в третий и т. д. Сначала вы покупаете и едите орехи по чуть-чуть. Но задолго до конца месяца у вас уже будут проблемы с желудком и состоянием банковского счета. Сколько вы сумеете продержаться, соблюдая экспоненциальную зависимость? На десятый день вам надо будет съесть примерно полкило орехов. А на тридцатый день месяца, чтобы соблюсти принцип удвоения, вам придется купить и съесть больше 500 т!

История с орехами не приведет к тяжелым последствиям по той простой причине, что в один прекрасный день вы окинете взглядом горку орехов, которую вам явно не съесть, и прекратите этот эксперимент. В этом примере нет существенных задержек между действием и его последствиями.

Величина, растущая в соответствии с простой экспоненциальной зависимостью, удваивается за фиксированный период времени. Д ля колонии дрожжей время удвоения составляло 10 минут. Для банковского вклада под 7 % годовых — примерно 10 лет. Для кувшинок в пруду и эксперимента с орехами — ровно один день. Существует простая зависимость между процентом прироста и временем удвоения. Время удвоения приблизительно равно числу 72, деленному на процент прироста.[18] Это иллюстрирует табл. 2.1.