Путеводитель для влюбленных в математику

А как насчет кубических корней? Кубический корень из числа c – это такое число x, что x³ = c. Вопрос: входит ли множество корней из комплексных чисел во множество комплексных чисел или нам нужно изобретать еще какие-нибудь новые числа[59]?

Уравнение x³ = c может быть записано иначе: x³ – c = 0. Сформулируем вопрос в общем виде: всякое ли полиномиальное уравнение[60] имеет решение среди комплексных чисел? Скажем, есть ли такое комплексное число x, что

3x⁵ + (2 – i) x⁴ + (4 + i) x³ + x – 2i = 0?

Принципиально важный факт в теории комплексных чисел состоит в том, что любое полиномиальное уравнение имеет комплексное решение! Об этом говорит основная теорема алгебры. На математическом языке данный тезис можно переформулировать так: поле комплексных чисел[61] алгебраически замкнуто.

Вот как звучит это важнейшее утверждение в строгой форме.

Теорема (основная теорема алгебры). Пусть d – положительное целое число и c₀, c₁, c₂, …, c_d – комплексные числа, причем c_d ≠ 0. Тогда существует такое комплексное число z, что

c_dz^d + c_{d – 1}z^{d – 1} + … + c₂z² + c₁z + c₀ = 0.

Поле действительных чисел незамкнуто, потому что среди действительных чисел не всегда можно найти решение полиномиального уравнения с действительными коэффициентами (например, среди действительных чисел нет такого числа a, что a × a + 1 = 0. Доказательство общей теоремы алгебры состоит в том, что решение приведенного выше полиномиального уравнение находят в общем виде.

Глава 6π

Что такое π?

Число π завораживает человечество на протяжении многих поколений. Оно проникло в массовую культуру (например, стало названием фильма[62] и маркой одеколона[63]). Школьники отмечают День π и соревнуются, кто запомнит больше знаков числа π после запятой[64].

Пи – шестнадцатая буква греческого алфавита. В математике ею обозначают отношение длины окружности к ее диаметру. Длина окружности в π раз длиннее диаметра, или C = πd. Можно записать иначе: C = 2πr, где r – радиус окружности.

Площадь окружности можно вычислить по формуле S = πr².

С помощью числа π можно определить и площадь сферы – 4πr², а также объем шара –

Эти геометрические формулы не сообщают нам величину числа π. Начнем с того, что π больше 3. Нарисуем круг с радиусом 1, впишем в него равносторонний шестиугольник, а затем поделим его на равносторонние треугольники.

Очевидно, что стороны всех треугольников равны 1. Периметр шестиугольника равен 6. Длина окружности несколько больше, чем периметр шестиугольника. Таким образом, 2π > 6, следовательно, π > 3. На рисунке мы видим, что разница между периметрами двух фигур невелика. Значит, π немногим больше 3.

Дальше мы можем поступить наоборот – описать правильный шестиугольник вокруг окружности радиусом 1. Вновь поделим шестиугольник на шесть равных треугольников. Длина любой стороны каждого треугольника будет равна (вы с легкостью поймете, почему это так, применив теорему Пифагора, о которой идет речь в главе 14; объяснение вы найдете в конце главы).

Таким образом, периметр большого шестиугольника равен Периметр окружности немного меньше. Следовательно,

Дальше мы можем снова и снова вписывать в окружность и описывать вокруг нее правильные многоугольники со все бо́льшим количеством сторон. Когда мы дойдем до правильного 100-угольника, точность наших вычислений значительно повысится:

3,1410759… < π < 3,1426266…

В пределе, увеличивая число сторон вписанных и описанных правильных многоугольников до бесконечности, мы будем получать все более точное значение интересующего нас числа:

π = 3,141592653589793238462643383279502884…

Так чему же в точности равно число π? В главе 4 мы уже выяснили, что число иррационально, то есть не может быть выражено через отношение двух целых чисел. Так же обстоит дело и с числом π. Школьников часто просят запомнить, что но это лишь приблизительное значение[65].

Число π не так-то просто представить в виде ряда, но вот пара попыток:

В обоих случаях необходимо вести счет до бесконечности, но это не в наших силах. Мы можем остановиться после некоторого количества шагов и найти приблизительное значение интересующего нас числа.

Ни та ни другая формула на практике не используются. Когда мы доведем расчеты по формуле (A) до получится, что π ≈ 3,134. Когда мы доведем расчеты по формуле (B) до получится, что π ≈ 3,13159.

Число π можно вычислить быстрее и точнее с помощью гораздо более изощренных алгоритмов. Для науки и инженерного дела достаточно знать где-то 30 знаков после запятой. Исключительно ради забавы и спортивного интереса математики и программисты вычислили число π с точностью больше триллиона знаков после запятой.

Трансцендентность