Путеводитель для влюбленных в математику

Таким образом, Y₁ и x не совпадают. Какая бы цифра ни стояла после запятой в Y₁, первая после запятой цифра x другая. Следовательно, в первой строке таблицы x мы не найдем.

Двигаясь вниз по таблице, мы обнаружим, что во второй строке x тоже нет. Но если соответствие между ℤ⁺ и ℝ взаимно однозначное, где-нибудь в правой колонке число x просто обязано возникнуть. Иными словами, x появляется в строчке k, где слева стоит целое положительное число k, то есть k ↔ Y_k = x. Но мы все время будем сталкиваться с одной и той же проблемой. Какая цифра стоит в числе Y_k на позиции k после запятой? Если тройка, то на соответствующей позиции в x обнаружится семерка; если не тройка, то на соответствующей позиции в x как раз тройка. Это выглядит так:

Эта проверка показывает, что x в правом столбце отсутствует. Мы, конечно, можем выстроить новую таблицу и поместить x на первую позицию. Но, если применить к новой таблице алгоритм с правилами (A) и (B), мы обнаружим, что в ней отсутствует некое число x'.

Вывод: всякая таблица будет ущербной! Таким образом, взаимно однозначное соответствие между ℤ⁺ и ℝ построить невозможно.

Мощности бесконечных множеств

Мы доказали, что мощности ℤ и ℤ⁺ совпадают. И дело тут не только в том, что оба множества бесконечно велики, а еще в том, что мы построили биекцию.

ℤ⁺ и ℝ тоже содержат бесконечное число элементов, но биекция между ними неосуществима. Так как любое целое положительное число – действительное, можно сказать, что ℝ «больше» ℤ⁺. Целых положительных чисел недостаточно, чтобы по одному сопоставить их со всеми действительными.

Мощность конечного множества – это число. Мощность множества A = {1, 3, 7, 9} равна четырем: |A| = 4. Но как зафиксировать мощность бесконечного множества? До выкладок Кантора математики довольствовались красивым символом ∞. Есть искушение написать: |ℤ⁺| = ∞ и |ℝ| = ∞, а затем сделать ошибочное заключение, что |ℤ⁺| = |ℝ|. Символ ∞ не передает всех особенностей, присущих мощностям бесконечных множеств.

Кантор решил исправить это и разработал новую систему чисел за пределами конечных. Такие числа называются трансфинитными и могут отразить мощность бесконечных множеств.

Мы выяснили, что ℤ⁺ – «наименьшее» бесконечное множество. Что это означает? Предположим, X – бесконечное множество. Между X и ℤ⁺ может быть биекция, а может и не быть. Но математики показали, что всегда есть взаимно однозначное соответствие между ℤ⁺ и некоторой частью множества X: либо ℤ⁺ и X равновелики, либо ℤ⁺ равновелико с частью множества X. Грубо говоря, либо ℤ⁺ и X имеют одинаковый размер, либо X больше.

Множества мощности ℤ⁺ называют счетными. Это самые маленькие бесконечные множества. Кантор ввел символ для обозначения их мощности: Мощности ℤ и ℤ⁺ совпадают, потому Так как ℝ обширнее, чем ℤ⁺, логичным будет записать: Величина обозначает мощность бесконечного множества, и это не обычное число. Его называют трансфинитным числом, причем  – наименьшее из трансфинитных чисел[87].

Мощности бесконечных множеств описывает целая вселенная трансфинитных чисел. Множества мощностью больше называют несчетными, и математики показали, что есть новый «уровень бесконечности», на ступень выше Мы можем доказать, что существует множество X, которое обладает двумя свойствами:

1.

2. Нет множеств с мощностью между |X| и

Таким множествам присвоили мощность Иначе говоря, и между этими двумя величинами нет других трансфинитных чисел.

Существует целая последовательность трансфинитных чисел. Она выглядит следующим образом: и т. д. Иерархия подразумевает, что есть трансфинитное число, превышающее любое א_k[88]. Наименьшее трансфинитное число, превышающее любое א_k, мы обозначаем א_ω, и есть бесконечно много еще больших чисел!

Где в этой схеме находится ℝ? Мы выяснили, что Но можем ли мы определить мощность ℝ в точности? Сколько всего действительных чисел?

Тайна семьи множеств

Вообразите: вы переступаете порог великолепного сооружения. За огромными воротами – мраморная лестница, ведущая в дивные палаты. Но стоит вам открыть дверь в подвал, как картина резко переменится. Там вы обнаружите ржавые трубы, искрящую проводку, бьющий в глаза электрический свет и разбитый пол, а может, и скопища тараканов. Подвал ужасен, но здания наверху без него не было бы.

Это хорошая метафора для сооружения под названием «математика». Как мы уже говорили в начале главы, все объекты в математике (от чисел до кругов) можно определить через другие объекты, попроще. Рано или поздно мы дойдем до самого дна и обнаружим объект, через который объясняются все другие. Это и будет множество.

Мы определили множество как набор объектов[89], но не сказали, что такое набор (в общем-то, это просто другое слово вместо «множества»), и не задались вопросом, какого рода объекты мы собираем вместе (и даже не дали определение объекта). Как нам выпутаться из этой ситуации?