Путеводитель для влюбленных в математику

• ключевой момент: большая часть серой полосы приходится на здоровых людей, поэтому вы, скорее всего, здоровы, если получили отрицательный результат, но не обязательно больны, если получили положительный.

Условная вероятность[205]

Мы вычислили вероятность того, что пациент с положительными результатами медицинского тестирования действительно болен. Мы вообразили гипотетический город, где живет миллион человек, и посчитали численность разных категорий населения. Это был способ ad hoc[206]. В общем случае мы должны руководствоваться языком теории вероятностей, и я завершу главу разъяснениями по этому поводу.

Для события A мы обозначаем P (A) вероятность того, что событие A произойдет, и  – вероятность того, что событие A не произойдет; таким образом,

Для событий A и B мы обозначаем P (A∧B) вероятность того, что произойдут оба события – и A, и B.

Запись P (A|B) означает вероятность того, что из события A следует событие B; это условная вероятность того, что A влечет за собой B. Формула Байеса[207] говорит нам:

Надежность диагноза, вынесенного на основе упомянутого медицинского теста, может быть выражена на языке математики следующим образом. Пусть S означает, что некто заражен редкой болезнью, а T означает положительный результат тестирования. Таким образом:

• болезнь поразила 0,1 % населения, откуда следует, что P(S) = 0,001;

• тест дает верную информацию о наличии или отсутствии заболевания в 98 % случаев, откуда следует, что P (T|S) = 0,98;

• тест дает верную информацию о том, что человек здоров, в 98 % случаев, откуда следует, что Иначе говоря, тест ошибочен в 2 % случаев:

Вопрос: какова вероятность того, что пациент с положительным результатом тестирования действительно болен?

Если перевести задачу на язык символов, то мы ищем величину P (S|T). По формуле Байеса эта вероятность равна Нам нужно узнать P (S∧T) и P (T).

Начнем хоть с P (S∧T), хоть с P (T∧S). По формуле Байеса

Мы знаем, что P (T|S) = 0,98, а P (S) = 0,001. Следовательно,

P (S∧T) = P (T∧S) = P (T|S) × P (S) = 0,98 × 0,001 = 0,00098.

Теперь вычислим P (T). Нам известно, что В то же время Далее:

Применим формулу Байеса в последний раз:

Это совпадает с нашими предыдущими вычислениями.

Глава 21Хаос

Что делает событие непредсказуемым? Предыдущие главы были посвящены понятию вероятности. Центральная идея теории вероятностей заключается в том, что некоторые феномены случайны: их нельзя предсказать в точности, поскольку они недетерминированы. Разумно и эффективно рассматривать некоторые феномены внешнего мира, такие как вращение брошенного кубика, в качестве случайных.

Но случаен ли бросок костей в действительности? Возможно, если мы детально знаем все характеристики кубика – от скорости вращения в зависимости от плотности воздуха в комнате до коэффициента трения о поверхность стола, мы сумеем в точности определить, какой гранью вверх он остановится. Возможно, вращение кубика не случайно – просто это чрезвычайно сложное явление.

Есть ли что-нибудь случайное? Физики утверждают, что некоторые феномены действительно непредсказуемы; таков основополагающий принцип квантовой механики. Поведение элементарных частиц, таких как электрон и фотон, нельзя предсказать, поскольку неопределенность – одно из их фундаментальных свойств.

Другие физические, биологические и социальные феномены могут быть чрезвычайно хорошо смоделированы с помощью теории вероятностей. Это потрясающе. Но насколько они случайны? Не исключено, что они чересчур сложны для понимания.

Так возникает главный вопрос этой главы: может ли система быть простой, полностью детерминированной, но все же непредсказуемой?

Функции

Ключевая идея этой главы – итерация функций. Под итерацией мы подразумеваем повторение одной и той же операции снова и снова. Что математики подразумевают под функцией?

Функции можно рассматривать в качестве своего рода «черных ящиков», преобразующих одно число в другое[208]. Вообразим, что у черного ящика есть входной лоток, куда мы засыпаем числа, дальше мы крутим ручку, машина делает свое дело, и на выходе из ящика вываливаются новые числа.

Например, представим себе ящик, выполняющий следующую операцию. Мы бросаем туда число, он возводит его в квадрат, добавляет к результату единичку и выплевывает то, что получилось. Дадим этой функции имя; назовем ее «возведи в квадрат и прибавь один». Вот как она работает с числом 3:

Описывать действия функции словами обременительно, гораздо проще использовать математические символы. Что касается числа 3, мы вначале возводим его в квадрат: 3² = 9, а затем прибавляем единичку: 3² + 1 = 10. Как будет выглядеть результат с числом 4? Очевидным образом, 4² + 1 = 17.

Вместо длинных имен (вроде «возведи-в-квадрат-и-прибавь-один»), математики обозначают функцию какой-нибудь буквой, чаще всего f. Число, с которым имеет дело функция, помещают в круглые скобки сразу за буквой, например: f(4).