Путеводитель для влюбленных в математику

Парадокс Ньюкома подразумевает игру на деньги, где участвуют два человека: Предсказатель и Игрок, который должен выбрать между двумя вариантами. Перед началом игры Предсказатель угадывает, какое решение примет его оппонент. Давайте придадим всему этому личностный оттенок: я предлагаю вам примерить роль Игрока на себя.

Перед вами два ящика: № 1 и № 2, оба непрозрачные, что внутри – не видно. Я гарантирую, что в ящике № 1 лежит 1000 долларов. А вот ситуация с ящиком № 2 смутная: либо там 1 000 000 долларов, либо ничего.

Чуть позже я объясню, от чего зависит, пуст или полон второй ящик, но сперва расскажу о ваших возможностях. Вам предстоит выбрать один из двух вариантов действий:

– забрать содержимое того и другого ящика;

– забрать содержимое ящика № 2.

Разумеется, деньги останутся у вас.

Однако первый ход – не за Игроком. Перед тем как вы примете решение, Предсказатель попытается предугадать ваш выбор. Представим, что это невероятно одаренный психолог, годами втихомолку наблюдавший за вами; он читает в вашем сердце, знает, когда и от чего вас бросает в пот, и на основе всего этого прекрасно понимает, что вы предпочтете. Формально говоря, Предсказатель прав в 95 % случаев[230].

Теперь я объясню, по какому принципу Предсказатель распределяет купюры. Как уже было сказано, в ящике № 1 всегда лежит 1000 долларов. Содержимое ящика № 2 зависит от того, как Предсказатель видит ваши действия. Если он думает, что вы заграбастаете оба ящика (на что вы имеете полное право), он оставляет ящик № 2 пустым. Если же он предполагает, что вы возьмете только ящик № 2, он кладет туда 1 000 000 долларов. Занесем эту логику действий в таблицу[231]:

Подытожим.

1. Первый ход за Предсказателем:

– если он думает, что Игрок выберет только ящик № 2, он кладет туда 1 000 000 долларов;

– если Предсказатель считает, что Игрок возьмет оба ящика, то ящик № 2 остается пустым.

2. Второй ход за Игроком, то есть за вами. У вас два варианта:

– взять только ящик № 2;

– взять оба ящика.

Когда вы берете один ящик или два, все деньги, которые там лежали, достаются вам!

Вот вопрос для анализа:

Переформулируем вопрос (на первый взгляд кажется, что разницы нет никакой): как вы поступите в такой ситуации? Люди могут рассуждать так:

– Я возьму только второй ящик, я не хочу показаться жадным.

– Я возьму оба ящика. Так мне в любом случае что-то достанется.

Мысли разумные, но это не ответ на наш вопрос. Здесь нет стратегии, позволяющей выиграть побольше денег. А мы хотим узнать именно это. Как поступить, чтобы выиграть максимальную сумму денег?

Вот еще один ответ, и, поскольку он тоже по-своему разумен, я в последнюю минуту немного поменяю правила игры, чтобы данная стратегия стала невыгодной.

– Я просто сыграю в орлянку.

Такая стратегия ставит нам палки в колеса, потому что Предсказатель психолог, а не маг, он не в силах предсказать, как выпадет монетка. Поэтому введем дополнительное правило: решение должно быть личным выбором Игрока. Вам запрещено с кем-либо консультироваться, вам запрещено играть в орлянку и предпринимать еще что-либо, влияющее на ваш личный выбор.

Итак, каким должен быть ваш выбор, чтобы вы заработали больше денег?

Хорошая новость состоит в том, что правильный ответ существует. Но есть и плохая новость: правильный ответ – не единственный. Посмотрим, почему это так.

Не оставляйте деньги на столе!

Вне всякого сомнения, забрать два ящика в любом случае на тысячу долларов лучше, чем просто взять ящик № 2. Предсказатель ходит первым. Поскольку он редко ошибается, вы не знаете, как он поступит. Если вы возьмете ящик № 2, вам достанется только то, что в нем лежит. Но если вы возьмете оба ящика, вам достанется и то, что находится в ящике № 2, и еще 1000 долларов. Вне всякого сомнения, так вы получите больше денег[232].

Вот наглядное представление о ваших возможностях в зависимости от того, пуст или полон ящик № 2:

Теперь все кристально ясно. Что бы там себе ни думал Предсказатель, в любом случае выгоднее брать оба ящика.

Жадность не доводит до добра

Вы ждете своей очереди. Несколько ваших друзей уже сделали выбор. Кое-кто из них руководствовался изложенной только что логикой и забрал оба ящика. Другие решили даже под давлением железобетонной логики взять только ящик № 2. И что они получили в итоге?

Рациональные игроки забрали свою тысячу, а вот азартные теперь миллионеры! В одном случае Предсказатель просчитался, но в целом он всегда оказывался прав.

А теперь ваш ход.

Если вы согласны с логикой предыдущих абзацев, вы возьмете оба ящика. Действительно, какой смысл оставлять на столе тысячу долларов? Предсказатель наверняка угадает ваш выбор (потому что знает, что вы за человек) и оставит ящик № 2 пустым. Это плохо: да, вы получите утешительный приз (1000 долларов), но так и не станете миллионером.