Пути в незнаемое

Какой же должна быть эта новая математика? Чтобы быть правильно понятым, Бернштейн предлагает ознакомиться с математической кухней. Она чрезвычайно проста, и многие математики искренне удивляются, почему это люди считают их науку трудной. Ведь в ней всего два класса понятий: номинаторы, то есть объекты (числа или буквенные и иные обозначения), над которыми производятся действия, и операторы — правила этих действий. Только и всего. Дальше уже начинаются всяческие построения, усложнения. Придумайте новый оператор (правда, это далеко не так легко), и вы сможете совершать действия над новыми, более сложными номинаторами. Те призовут к жизни еще более сложные операторы — и так без конца.

Номинаторы в эпоху «золотого века» математики выглядели крайне просто. Настолько просто, что их очень наглядно изображали в виде графиков на плоскости, в крайнем случае — как перспективно-пространственные «нечто». Сама возможность так поступать — плод  и з о б р е т е н и я  Декарта, придумавшего систему прямоугольных координат и буквенные обозначения для номинаторов. Но уже пространства более высоких, чем третья, степеней (то есть требующие более трех координатных осей), — скажем, знаменитое четырехмерное «пространство время», придуманное Эйнштейном и Минковским, не представляется наглядно нашему воображению, привыкшему к трехмерному миру. Формула — пожалуйста, а картинка, образ — увы… Физики сетуют: «За каждый большой шаг в направлении теоретического синтеза нашего знания неизбежно приходится расплачиваться все большей и большей утратой интуитивной очевидности и наглядности, которые были столь привлекательны и характерны для построений классического механицизма».

Действительно, рождение частиц большей массы из частиц с меньшей или даже из физического вакуума, то есть из «ничего», абсолютно не наглядны с позиций обыденного разума: как это слон может находиться в мышке? Нечто подобное переживает сегодня и биология. Вторжение математики в нее приняло такой характер, что принципы организации мозга, описываемые формулами, сильно потеряли в наглядности. Скажем, зрение: как прекрасно выглядело его объяснение, когда глаза несли в мозг «картинки», некие слепки видимой действительности, «узоры возбуждения» — отпечатки темных и светлых мест изображения. Однако современная нейрофизиология зрительного процесса показывает нам, что этот узор подвергается после сетчатки такому множеству сложнейших преобразований, что о «картинках» трудно говорить. Речь идет о процессе многократного отражения, отображения из одного множества (множества в математическом смысле) в другое. Но это отображение, подчеркивает Бернштейн, уже не примитивное, когда каждому элементу множества исходных точек ставится в соответствие другая точка в другом множестве (так думали когда-то и предполагали, что светлым и темным местам картинки соответствуют возбужденные и заторможенные клетки мозга). Дело куда более сложно. Каждой  г р у п п е  точек исходного множества ставится в соответствие элемент иного множества, а потом совокупностям этих элементов — какой-то  о д и н  элемент более высокого множества, и так далее, и так далее…

Иными словами, заключает Бернштейн, мозг налагает на картину мира присущие ему, мозгу, операторы и тем самым  у п о р я д о ч и в а е т  многообразие мира, ищет в нем подобия и сходные классы. Мозг таким способом совершает исключительно важную по своим последствиям работу: вносит в информацию о мире  д о б а в о ч н у ю  информацию — свою собственную. От этого получившаяся, резко усеченная (из-за процесса многократных отображений) по отношению к исходной, информация оказывается более богатой: приобретает смысловое содержание. И поскольку принципы, по которым происходят расчленения и соотнесения информации, — не что иное, как математические операторы моделирования, способов моделирования может быть чрезвычайно много, столько, сколько операторов.

Советские математики И. М. Гельфанд (тот самый, у которого Николай Александрович выступал на семинарах и который известен своими исследованиями также и по нейрофизиологии мозжечка) и М. Л. Цетлин изобрели «хорошо организованные функции», непредставимые с помощью графиков и картинок. Эти функции интересны тем, что они многомерны и зависят от многочисленных факторов-аргументов — «существенных» и «несущественных». Названия отражают диалектическую противоречивость факторов: несущественные приводят к резким, но недолгим «всплескам» и не влияют на отдаленные результаты, существенные же не проявляют своего влияния сиюминутно, однако от них зависит конечный итог.