Революция в физике (Новая физика и кванты)

Естественно также предположить, что каждой координате соответствует умножение на эту координату. Поскольку все механические величины, характеризующие поведение частицы, можно выразить с помощью координат и компонент импульса (сопряженных импульсов Лагранжа), то только что сформулированные правила позволяют нам найти оператор, соответствующий любой механической характеристике частицы. Если образовать оператор энергии, то получим оператор Гамильтона, с которым мы встречались при построении волнового уравнения. Обобщая этот вывод, приходим к принципу, согласно которому всем физическим величинам сопоставляются операторы. Этот принцип положен в основу новой механики.

Теперь уже можно понять, как Шредингер построил матрицы, которые он хотел отождествить с матрицами квантовой механики. Пусть имеется некоторая механическая величина, характеризующая движение частицы и соответствующий ей оператор, правило построения которого мы знаем. Каждой паре собственных функций рассматриваемой системы можно, таким образом, сопоставить величину, образованную следующим образом. Оператор, о котором идет речь, действует на одну из функций пары, результат множится на комплексно сопряженное значение другой функции и интегрируется по всему пространству.

Повторяя подобную операцию со всеми парами собственных функций, получаем систему элементов, одни из которых относятся к одному стационарному состоянию, другие – к двум стационарным состояниям, т.е. к переходам. Эти элементы располагают в таблицу, причем элементы первого типа помещают на диагонали (диагональные элементы). Каждой механической величине сопоставляется, таким образом, матрица. Вопрос теперь заключается лишь в том, можно ли отождествить эти матрицы и матрицы квантовой механики.

Ответ на этот вопрос утвердительный. Шредингер прежде всего показал, что матрицы, построенные только что описанным способом, должны удовлетворять, как и матрицы Гейзенберга, правилам сложения и перемножения алгебраических матриц. Кроме того, несколько странный путь, которым постоянная Планка проникла в квантовую механику, получил в концепции Шредингера немедленное объяснение. Произведение двух операторов, вообще говоря, не коммутирует: полученный результат зависит от порядка сомножителей.

Тем не менее во многих случаях два оператора, соответствующих механическим величинам, коммутируют. Однако имеется исключение, когда этими величинами являются координата и сопряженная компонента импульса, ибо оператор, отвечающий последнему, пропорционален производной по сопряженной координате, а операция «производная по некоторой переменной» не коммутирует, как легко видеть, с операцией «умножение на эту переменную».

Отсюда немедленно следуют сформулированные Гейзенбергом правила перестановки. Чтобы завершить отождествление рассматриваемых матриц, остается лишь показать, что матрицы волновой механики подчиняются каноническим уравнениям квантовой механики. Вот как это было сделано: Шредингер показал, что из канонических уравнений строго следует, что волновые функции, использованные при конструировании матриц, обязательно удовлетворяют волновым уравнениям волновой механики. Короче говоря, канонические уравнения квантовой механики эквивалентны волновым уравнениям волновой механики.

Таким образом, оказалось, что обе формы новой механики сводятся одна к другой. Теперь больше не вызывает удивления тот факт, что они приводят в проблеме квантования к одинаковым результатам. Метод квантовой механики, оперирующий прямо с матрицами и не имеющий дела с промежуточными величинами – волновыми функциями, более компактен и часто быстрее приводит к желаемым результатам. Метод же волновой механики лучше удовлетворяет интуиции физиков и лучше согласуется с образом их мыслей. Поэтому на первый взгляд он кажется более естественным и удобным для работы. Действительно, большинство физиков пользуется волновым методом и при расчетах явно использует волновые функции.

4. Принцип соответствия в новой механике

Новая механика позволяет придать гораздо более точную форму принципу соответствия и частично устранить поводы для критики, которой он подвергался в рамках старой квантовой теории. Мы уже видели, как Бор пытался использовать разложение в ряд Фурье электрического момента, соответствующего в классической модели начальному или конечному состоянию квантового перехода, чтобы предсказать поляризацию и интенсивность излучения при этом переходе. В случае больших квантовых чисел этот метод вполне удовлетворителен и свободен от всяких неопределенностей.