Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Его собственная профессиональная карьера способствовала такому отношению, поскольку не давала ему достаточно досуга для занятий математикой. Так, вся научная жизнь Ферма характеризуется результатами, о которых он объявлял очень осторожно, едва намеченными идеями, никогда не доведенными до завершения, презрением к заполнению пробелов и деталям, а также отсутствием доказательств. Вкратце его методы можно назвать полнейшей противоположностью тому, чем занимался Евклид с его систематическим и строгим подходом и выверенными доказательствами, которые имели огромное значение для поколений математиков. В этом смысле Ферма был намного ближе к реистской традиции, чем к античной строгости.

Все эти записки, наброски и беспорядочные бумаги привел в порядок, систематизировал и опубликовал (по крайней мере все, что смог найти и осмыслить) его наследник, первенец Клеман-Самюэль. Он унаследовал не только должности отца, но и, по крайней мере частично, страсть к математике.

Помимо прочего, в 1670 году сын опубликовал комментарии к Диофанту, собрав все пометки отца на полях. Именно так до нас дошла знаменитая теорема, которая явно была просто пометкой, сделанной Ферма для себя самого. Он никогда ни с кем не делился ею целиком; единственное оставшееся свидетельство о ней — заметка на полях, которую Клеман-Самюэль, верный памяти отца, расшифровал и посмертно опубликовал.

Ферма обсуждал частные результаты теоремы; но общая формулировка, в том виде, в каком она появляется в его случайной записи, почти точно затерялась бы.

Судьба научной работы иногда зависит от воли некоего человека, который сочтет, что она важна. И таким волоском в случае Ферма стала любовь Клемана-Самюэля к своему отцу и к памяти о нем.

Итак, мы, наконец, пришли к этому полю, на котором Ферма записал свою дьявольскую теорему. "Я нашел, — утверждает он, — этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы записать его".

Любопытно, что в течение веков всегда говорили о Великой теореме Ферма. В математике любой недоказанный результат известен как предположение, или гипотеза. Так, у нас есть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха и до недавнего времени у нас была гипотеза Пуанкаре, которая, после того как была доказана, превратилась в теорему Пуанкаре — Перельмана. Дело в том, что только доказанные результаты заслуживают звания теоремы.

Но по какой-то причине утверждение Ферма всегда было известно как теорема; возможно, потому что другие утверждения ученого были постепенно доказаны и оставалось только последнее. Следовательно, теореме Ферма понадобилось 350 лет, чтобы оправдать свое название.

ГЛАВА 2

Попытки доказательства Великой теоремы

В течение 350 лет историки математики безуспешно задавались вопросом: действительно Ферма доказал свою теорему или нет? А может, на самом деле он ошибочно верил в то, что ему это удалось? Стиль работы французского математика позволяет предположить все что угодно, хотя одни версии более вероятны, чем другие.

Математические методы эпохи Ферма были очень похожи на те, которыми пользуется прилежный ученик в школе. Другими словами, человечеству понадобилось около 2500 лет на то, чтобы приобрести знания, доступные сейчас выпускнику школы. И наоборот, с тех пор научные понятия усложнились настолько, что неспециалисты уже не в состоянии их понять.

Математики, которой пользовался Уайлс для доказательства Последней теоремы Ферма, не существовало во времена французского ученого. На самом деле большая ее часть была создана только в XX веке. Поэтому чрезвычайно сложно поверить в то, что у Ферма было доказательство его теоремы, которое не смогли получить самые лучшие мировые математические умы в течение 350 лет.

Наиболее вероятно, что Ферма доказал некоторые частные случаи. В замечании 45 к трактату Диофанта отмечается, что он доказал ее для случая n - 4. То есть не существует таких натуральных чисел х, у и z, что х⁴ + у⁴

- z⁴.

Возможно, Ферма также доказал случай n = 3. По крайней мере, он ссылался на это в своей переписке как на доказанный результат, точно так же, как и n = 4. Вероятно, на основе этих двух случаев математик решил, что обобщение сделать очень просто.

Ферма ошибался уже не в первый раз. Он также утверждал, что 2²^p +1 — всегда простое число (делится только на само себя и на единицу), если р — простое. Великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) доказал, что это не так: при р - 5 утверждение Ферма ложно, поскольку полученное число делится на 641.

Так что Ферма иногда делал неправильные выводы, слишком доверяя интуиции и своим неполным доказательствам. Есть основания думать, что его предполагаемое доказательство Последней теоремы существовало только в его воображении и что отсутствие строгости привело его к очень смелому утверждению на основе пары отдельных случаев... к утверждению, которым, с другой стороны, насколько известно, он не собирался делиться со всеми.