Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

В один из тех редких случаев, когда Ферма показал некоторые из своих достижений, в ответе Френиклю в 1640 году он утверждал, что числа Мерсенна М = 2^p - 1 являются простыми, когда показатель степени — простое число. Также если n простое число, то n — делитель 2^n-1 - 1, и, наконец, если п простое число, то единственно возможные делители 2ⁿ - 1 имеют вид k(2n) + 1. Но, как обычно, Ферма не предоставил никакого доказательства.

Первый результат очень важен, поскольку он позволяет отбросить большое количество чисел Мерсенна в качестве кандидатов в простые числа. Второй и третий — сокращенные пути. Второй позволяет найти по крайней мере один делитель некоего числа Мерсенна (который может быть самим числом, что доказывает 2^3-1 - 1 = 3, являющееся делителем 3), а третий позволяет ограничить вид множителей другого числа Мерсенна, в связи с чем его поиск (и последующая проверка того, является число простым или составным) оказывается намного эффективнее: он ограничивается числами такого вида, исключая все остальные. Хотя Ферма не знал лучших методов поиска простых чисел, чем решето грека Эратосфена Киренского (276-194 до н. э.), он все же мог определить простоту некоторых чисел очень быстро, благодаря этим сокращенным путям.

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Прямое доказательство теоремы идет от гипотезы и шаг за шагом приближается к выводу. Некоторые из данных шагов можно инвертировать, а другие нет. В целом шаг, содержащий импликацию, нельзя инвертировать. Рассмотрим это на бытовом примере. Можно сделать вывод, что тротуар мокрый, из того факта, что идет дождь, но мы не можем сделать вывод о том, что идет дождь, из того, что тротуар мокрый. Последнее могло произойти из-за обстоятельств, не связанных с дождем: например, воду пролила проехавшая автоцистерна или тротуар полили из обыкновенного шланга. Если идет дождь, то тротуар мокрый; но необязательно наоборот. Значит, тот факт, что идет дождь, — достаточное условие для того, чтобы тротуар был мокрым, но не необходимое. Такая однонаправленность присутствует, среди прочего, в малой теореме.

Ферма воспользовался третьим результатом, чтобы доказать, что не существует ни одного совершенного числа из 20 или 21 знака. Для начала он установил, что 2³⁷-1 — единственное число Мерсенна, которое может образовать по формуле Евклида совершенное число из 20 или 21 знака (это предполагает знание и принятие за справедливую теорему, обратную теореме Евклида, доказанную Эйлером несколько лет спустя). Затем он доказал, что данное число Мерсенна не является простым, поскольку делится на 223 = 3 · (2 · 37) +1, что как раз имеет вид k(2n) + 1. Действительно, вместо того чтобы вычислять огромное количество простых чисел, которые могли бы быть делителями 37-го числа Мерсенна, Ферма было достаточно постепенно попробовать числа к(2 · 37) + 1 для различных значений к. На третьей попытке он уже нашел ответ.

В письме Френиклю ученый говорил, что начал различать свет чудесных результатов. Но на самом деле он уже видел этот свет. Два последних результата, о которых он сообщал Френиклю, были следствиями намного более общего результата, известного сегодня как "малая теорема Ферма" (чтобы отличать его от Великой теоремы). Парадокс в том, что "малая" теорема Ферма намного более значима для теории чисел, чем "Великая".

В том же 1640 году Ферма ознакомил с малой теоремой Френикля. Малая теорема Ферма применима только к простым числам. В ее современной формулировке в теореме говорится, что при заданных простом числе p и натуральном числе a, если p не является делителем a, то a^p-1 - 1 делится на p. Сначала не очень ясна значимость данной теоремы, однако она устанавливает основополагающее свойство этих кирпичиков, простых чисел, что влечет за собой очень интересные последствия.

Годфри Харди около 1912 года отмечал, что теория чисел не имеет практического применения. Тем не менее ситуация радикально изменилась, когда в 1977 году был разработан шифровальный алгоритм под названием RSA, который основан на разложении числа на два простых множителя (нахождение решения) и умножении двух множителей для получения числа (сверка решения).