Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Так как а 0, то выражение, стоящее под знаком арксинуса, как легко проверить, всегда расположено между 0 и 1.

Ответ.

3.40. Так как O₁ — центр сферы, касающейся граней SAB и SAC в точках B и C (рис. P.3.40, а), то O₁ лежит в плоскости, перпендикулярной к их общему ребру SA и проходящей через эти точки. При этом ED — биссектриса линейного угла ВЕС, измеряющего двугранный угол между рассматриваемыми плоскостями.

Если сделать такие же построения для второй сферы O₂, то получим четырехугольник AFBO₂, равный четырехугольнику BECO₁ (равенство очевидно из соображений симметрии, однако этот факт легко устанавливается и непосредственно). Следовательно, CO₁ = AO₂ = BO₂ = BO₁. Заметим, что AO || CO₁ как два перпендикуляра к плоскости ASC. Итак, O₁O₂ = AC = а.

Поскольку O₁B  ASB, то O₁B  SB, аналогично O₂B  SB, откуда SB  O₁BO₂. Мы доказали, что SB — высота пирамиды SO₁BO₂.

Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, остается вычислить длину отрезка BO₁. Так как отрезок EC из треугольника ASC

определяется легко:

EC^2 = ^a^2/_4b^2(4b^2 - a^2),

то дальнейшие вычисления нельзя проводить, оставаясь в плоскости BEC (рис. P.3.40, б). Обратим лишь внимание на тот факт, что треугольники BES и CES равны, т. е. BE = CE, откуда следует, что биссектриса ED является в треугольнике BEC и медианой. Фигура BECO₁ — ромбоид (BC  EO₁). Обозначим EC = с, BO₁ = x. Треугольники ECO₁ и ECD подобны. Поэтому ED : с = ^a/₂ : x, откуда x = ^ac/_2ED, т. е. x^2 = ^a^2c^2/_4c^2 - a^2. 

Подставляя вместо с = EC его выражение через а и b, получим

OB^2 = ^a^2(4b^2 - a^2)/_4(3b^2 - a^2).

Теперь можно определить высоту треугольника O₁BO₂, опущенную на O₁O₂. Она равна  Все элементы, необходимые для вычисления объема, сосчитаны.

Ответ.

3.41. Расстояние между центрами O₁ и O₃ двух не касающихся друг друга шаров равно 2r

2 (рис. P.3.41, а).

На рис. P.3.41, б изображено осевое сечение конуса, проходящее через O₁ и O₃. B этом же сечении будет лежать и O₅. B треугольнике O₅O₁Е сторона O₁O₅ = 2r, а O₁Е = r2 , следовательно  т. е. угол O₅O₁Е равен 45°. Треугольник ASD подобен треугольнику O₁O₅Е . Поэтому H = R. Найдем H:

H = SO₅ + O₅E + ED = 2r + ^2r/₂ + r = r(22 + 1).

Теперь можно найти и объем конуса:

V = ^r^3/₃(22 + 1)^3.

Ответ. ^r^3/₃(222 + 25).

3.42. Так как ребро SD перпендикулярно к плоскости основания, то треугольник SCD (рис. P.3.42, а), в который вписана окружность основания цилиндра, прямоугольный.

 Радиус этой окружности равен частному от деления площади треугольника SDC на полупериметр, т. е.

Угол MEK равен углу SAD, так как треугольники MEK и SAD подобны. Из треугольника SAD находим ctg  SAD

= ^a/_h. Следовательно, и ctg  MEK = ^a/_h. Для дальнейших рассуждений достаточно рассмотреть трапецию EMNF (рис. P.3.42, б).

Отрезок MK = 2r. Из треугольника MEK находим

EK = MK ctg  MEK = ^2ra/_h.

Искомый отрезок

KF = EF - EK = a - ^2ra/_h = ^a(h - 2r)/_h.

Ответ.

3.43. Пусть OA = R, SO = H, ребро куба равно a (рис. P.3.43).

Из подобия треугольников SOA и SO₁B получим

Так как

то

Из подобия треугольников SO₁B и SO₂C

Упростим последнюю пропорцию и найдем из нее H:

С помощью первого соотношения определим теперь R:

Остается сосчитать отношение объемов: ^{R^2H}/_3a^3. 

Ответ.

3.44. Обозначим через а сторону нижнего основания пирамиды, через b сторону ее верхнего основания, а через S площадь боковой грани. Объем пирамиды можно записать так:

С другой стороны, объем равен

Приравнивая эти два выражения, найдем

Вспомним, что боковая грань — трапеция, боковые ребра которой равны верхнему основанию. Площадь этой трапеции легко найти, если вычислить ее высоту:

Сравнивая с предыдущим выражением для S, получим уравнение относительно ^а/_b. После сокращения на а + b (равенство суммы а

+ b нулю не имеет геометрического смысла) и возведения в квадрат придем к выражению

2b^2 + ab - а^2 = 0

или

(^a/_b)^2 - ^a/_b - 2 = 0.

Так как а и b — положительные величины, то ^а/_b = 2, или а = 2b.

Чтобы связать величины b и r, спроецируем точку С₁ на плоскость нижнего основания (рис. P.3.44). Поскольку радиус описанной окружности треугольника ABC в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника А₁В₁С₁, то DC = ^b/₃.

По теореме Пифагора для треугольника С₁DС

b^2 - ^b^2/₃ = 4r^2,

откуда

b = r6, а = 2b = 2r6.

Остается вычислить объем:

Ответ. 73r^3.

3.45. Пусть О₁ и О₂ — центры меньших шаров, О₃ — центр большого шара, а О — центр шара, радиус которого нужно определить. Спроецируем точки O₁, O₂, O₃ и О на плоскость (рис. P.3.45). Треугольник Р₁Р₂Р₃ равнобедренный и точка P лежит на его медиане и высоте.