Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1/3 ^h/₂^3a^2/₂ = 3/4 ( 1/3 ha^2) = 3/4 v,

где v — объем данной пирамиды.

Чтобы найти высоту пирамиды FGDM, сделаем чертеж плоскости, в которой лежит грань SDC (рис. P.4.4, б). Проведем EL параллельно SD. Так как E — середина SC, то DL =  1/2 DC = ^a/₂. Из подобия треугольников MEL и MFD найдем

^FD/_EL = ^MD/_ML = ^2a/_2,5a = ⁴/₅.

Нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что высота пирамиды FGDM равна ⁴/₅ высоты EBCM, т. е. ^4h/₁₀.

Из подобия треугольников MGD и MBC (см. рис. P.4.4, а) найдем GD = ^2a/₃. Это означает, что объем пирамиды FGDM равен

1/3 ^4h/₁₀^2a^2/₃ = ⁴/₁₅( 1/3 ha^2) = ⁴/₁₅v,

Таким образом, объем фигуры, лежащей под сечением, равен

3/4 v - ⁴/₁₅v = ²⁹/₆₀v.

Ответ.²⁹/₃₁.

4.5. Сечение AMND и диагональная плоскость ASC разбивают данную пирамиду на четыре части. Так как высота пирамиды NACD (рис. P.4.5) вдвое меньше высоты данной пирамиды, а площадь основания вдвое меньше площади основания ABCD, то ее объем равен ^v/₄, где v — объем данной пирамиды.

Рассмотрим пирамиды ASBC и ASMN с общей вершиной A. Их высоты равны, а площадь основания первой в четыре раза больше. Следовательно, их объемы относятся, как 4 : 1. Таким образом, на долю пирамиды ABMNC приходится ^3v/₈.

Теперь можно найти, какую часть объема пирамиды составляет фигура, расположенная под сечением:

1/4 v

+ ³/₈v = ⁵/₈v.

Ответ. 5 : 3.

4.6. Соединим точки P, Q и R с вершиной A (рис. Р.4.6), после чего соединим их между собой.

Продолжим A₁B₁ до пересечения с QP в точке E и A₁D₁ до пересечения с QR в точке F. Обе точки E и F лежат в плоскости верхнего основания, а EF — след сечения в этой плоскости, который пересекает верхнюю грань куба по отрезку MK.

Продолжим DC до пересечения с PR в точке G и соединим K с G. На ребре СС₁ получим точку L, принадлежащую сечению.

Из подобия треугольников QА₁Е и QAP следует, что А₁Е = А₁Q = ^3a/₂, где а — ребро куба.

Следовательно, В₁Е = ^а/₂. Аналогично D₁F = ^а/₂ и СG = ^а/₂, откуда следует, что МС₁ = KC₁ = LC₁ = ^а/₂. Объем пирамиды MC₁LK равен а^3 : 48.

Ответ. 1 : 47.

4.7. Пусть MN = а

(рис. P.4.7).

Тогда aSK = 2Q. Выразим искомую площадь через а и SK. Отрезок AB — средняя линия трапеции IМNJ, а отрезок DC — средняя линия треугольника SIJ. Поэтому

AB = ³/₂а, DC = а.

Из подобия треугольников SOK и HOG следует, что HG =  1/2 SK. Осталось определить HL и EF:

HL = GL - GH = 3/4 SK -  1/2 SK =  1/4 SK;

из подобных треугольников FSL и RSP

^EF/_a = ^SL/_SP = ^KG/_KP =  1/4 , т. е. EF = ^а/₄.

Теперь можно подсчитать площадь сечения, которая равна

1/2 (AB + CD)GH +  1/2 (CD + FE)HL = 1/2 (^5a/₄GH + ⁵/₄aHL) = ^5a/₄( 1/2 SK + ¹/₈SK) = ^25a/₃₂SK.

Так как aSK = 2Q, то площадь сечения можно выразить через Q.

Ответ.²⁵/₁₆Q.

4.8. Спроецируем С₁С на плоскость основания призмы (рис. P.4.8). Отрезок EK — средняя линия в треугольнике С₁CF.

Через точки K и D проведем прямую, которая пересечет AB в точке M

. Докажем, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ.

Поскольку KC = 1/2 FC, а DO =  1/2 OB (ABC — правильный треугольник) и FC = OB (треугольники C₁FC и В₁ОВ равны), то KC = DO. Покажем, что KC || DO. B самом деле, так как OB  AC, то и ВВ₁  AC. Следовательно, CC₁  AC, а значит, и KC  AC. Итак, KC и DO параллельны, а фигура KCOD — параллелограмм. Теперь мы можем воспользоваться тем, что отрезок KM параллелен CO, а потому перпендикулярен к AB. Отсюда следует, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ.

Остаются простые вычисления:

Площадь треугольника ADB можно найти двумя способами:  1/2 DM · AB =  1/2 DВ · AD, т. е. bDM = ^b^23/₄, откуда MD = ^b3/₄. Теперь найдем ЕМ:

Ответ.

4.9. B диагональной плоскости ВВ₁D₁D (рис. P.4.9) проведем через точку F отрезок EG, параллельный ВD.

B другой диагональной плоскости AA₁С₁С проведем через точку F отрезок KL || АС₁. B плоскости верхнего основания построим отрезок MN || В₁D₁ и проходящий через точку L. Точки K, G

, N, M, E являются вершинами сечения, площадь которого мы должны вычислить. Это сечение — пятиугольник, разбивающийся на треугольник EKG и трапецию EGNM. Если KR — высота треугольника, а Q — точка пересечения KR и EG, то площадь пятиугольника равна

1/2 KQ · EG +  1/2 (EG + MN)QR.

Так как KL || AC₁, то LC₁ =  1/4 A₁С₁ и MN =  1/2 В₁D₁ =  1/2 EG. B свою очередь  Поэтому

Чтобы вычислить отрезки KQ и QR, спроецируем KR на плоскость основания. Точка Q спроецируется в P, а точка R — в H. Обозначим через S и T проекции точек K и Q на отрезки QP и RH соответственно.

По теореме о трех перпендикулярах АР  BD. Сравнивая площадь треугольника ADB, получим АР · BD = ab, а так как  то

Из подобия треугольников легко получим

AK = 1/4 с, RT = 1/4 с, QS =  1/2 с.

Поскольку MN = 1/2 В₁D₁, то QR =  1/2 KQ. Из треугольника KQS находим

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

S =  1/2  KQ · EG +  1/2 · ³/₂EG ·  1/2 KQ = ⁷/₈EG · KQ.

Ответ.