Схемотехника аналоговых электронных устройств

Так как расчет функции чувствительности сводится к расчету передаточных функций, то для их нахождения возможно применение, например, обобщенного метода узловых потенциалов. Косвенный метод расчета по передаточным функциям позволяет находить функции чувствительности более высоких порядков. На рисунке 8.4б проиллюстрировано нахождение функции чувствительности второго порядка. В общем же существует n! путей передачи сигнала, каждый из которых содержит n+1 сомножителей.

Ниже описывается метод расчета функции чувствительности, сочетающий прямой метод дифференцирования и косвенный по передаточным функциям, позволяющий за один анализ находить чувствительность к n элементам схемы [18]. Рассмотрим данный способ на примерах получения выражений для абсолютной чувствительности первого порядка S-параметров электронных схем, описанных матрицей проводимости [Y].

В матричном представлении характеристики электронных схем, в том числе и параметры рассеяния [S], определяются в виде отношений алгебраических дополнений матрицы [Y] (см. подраздел 7.2). Изменяемый параметр входит при этом в некоторые элементы алгебраических дополнений. Определение функции чувствительности сводится в этом случае к нахождению производных от отношений алгебраических дополнений (или алгебраических дополнений и определителя) по элементам, в которых содержится изменяемый параметр. В случае, когда изменяемый параметр входит в элементы дополнений определителя функционально, чувствительность определяется как сложная производная.

Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано на разложении определителя по Лапласу

Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)

S_ij = k_ijΔ_ji/Δ – δ_ij.

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику y_o включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

Рисунок 8.5. Расчёт чувствительности S-параметров

SSijy0 = dSij/dy0 = kij(Δji(k+l)(k+l)Δ – Δ(k+l)(k+l)Δji)/Δ² = –kijΔj(k+l)Δ(k+l)i/Δ²  = –kij[(Δjk – Δjl)(Δki – Δli)]/Δ²

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения [3]:

Δ_(i+j)(k+l) = Δ_i(k+l) + Δ_j

(k+l) = (Δ_ik – Δ_il) + (Δ_jk – Δ_jl),

Δ_ijΔ_kl – Δ_ilΔ_kl = ΔΔ_ij,kl.

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви g_э=1/r_э и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

SSijgэ = dSij/dgэ = kij[(Δji(k+l)(k+l)Δ + αΔij(k+l)(p+q))Δ – (Δ(k+l)(k+l)Δ+αΔ(k+l)(p+q)Δij])/Δ² = –kijΔ(k+l)i(Δj(k+l) + αΔj(p+q

))/Δ²  = –k_ij(Δ_ki – Δ_li)[(Δ_jk – Δ_jl)+ α(Δ_jp - Δ_jq)/Δ²,

SSijα = dSij/dα = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l)(p+q)Δji)/Δ² = –kijΔj(p+q)Δ(k+l)i/Δ²  = –kij[(Δjp – Δjq)(Δki – Δli)]/Δ².

Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна

SSijS = dSij/dS = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l

)(p+q)Δ_ji)/Δ² = –k_ijΔ_j(k+l)Δ_(p+q)i/Δ²  = –k_ij[(Δ_jk – Δ_jl)(Δ_pi – Δ_qi)]/Δ².

Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-параметру подсхемы (рисунок 8.5г), например, y_kl, будет равна

SSijykl = dSij/dykl = kij(Δji,klΔ – ΔklΔij)/Δ² = –kijΔjlΔki/Δ².

При известной чувствительности y_kl к параметру элемента подсхемы x (см. рисунок 8.5г) чувствительность S-параметров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как

SSijx = (dSij/dykl)(dykl/dx) = SSijykl·Syklx.

Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных электронных схем.

Зная связь параметров рассеяния с вторичными параметрами электронных схем (K_U, Z_вх, Z_вых и др.) и чувствительность параметров рассеяния к изменению элементов схемы, возможно нахождение функций чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-го на j-й узел K_ij=S_ji/(1+S₁₁

) чувствительность к изменению параметра x (полагая, что S_ij=f(x) и S_ii=φ(x)) получаем

SKijx = dKij/dx = [SSijx(1 + Sii) – SSiixSij]/(1 + Sii)².

Аналогично для Z_вх(вых) (Z_ii(jj)) имеем

Z_ii(jj) = Z_г(н)·(1 + S_ii(jj))/(1 – S_ii(jj));

S^Z_ii(jj)x = dZ_ii(jj)/dx = –2Z_г(н)·S^S_ii(jj)x·S_ii(jj)/(1 – S_ii(jj))².