Собрание сочинений. Том 5. 1981-1982

Для изучения соревнования двух мировых систем очень важно овладеть математическим аппаратом экономической динамики. Основные понятия, относящиеся к нему, – это темп роста и темп прироста экономических параметров. Пусть некоторый экономический параметр (например, выпуск продукции, производительность труда и т. п.) принимает в различные периоды времени определенные значения, что можно выразить как . Если рассматривать изменение за дискретные промежутки времени , то под темпом прироста параметра понимается отношение

т. е. относительный прирост параметра в единицу времени. Обычно в качестве берется год, месяц, день и т. д. В этом случае темп прироста будет иметь выражение

где – прирост параметра за год, месяц и т. п. Если же рассматривается непрерывное изменение параметра х во времени, то в качестве темпа прироста берется величина

Показатель темпа прироста тесно связан с показателем темпа роста. Действительно, темп роста определяется в статистике как отношение величины экономического параметра к его значению в начальный (базовый) момент времени. Следовательно, темп роста величины равен

Если прирост параметра брать в единицу времени, то это выражение примет вид

Обозначим темп роста величины через . Устремив к нулю, получим

Темп роста отличается, следовательно, от темпа прироста на единицу, а если темп прироста берется в процентах, то на . Отсюда вытекает, что показатели темпа роста и темпа прироста в известном смысле эквивалентны: убыванию одного соответствует убывание другого, возрастанию – возрастание; если темп прироста одной величины больше темпа прироста другой, то такова же зависимость между темпами роста; из свойств темпа прироста мгновенно можно получить свойства темпа роста.

Темпы прироста обладают следующими основными свойствами.

1. Пусть , тогда

2. Пусть , тогда .

3.  тогда и только тогда, когда отношение возрастает. тогда и только тогда, когда отношение остается постоянным.

4. Если и постоянны и равны соответственно и , причем , то начиная с некоторого момента времени величина будет превышать , т. е.

Часто считают, что если темп роста одной величины больше темпа роста другой, то непременно первая с течением времени станет больше второй. Это, однако, верно только в случае постоянных темпов роста.

Уже на простом графическом примере можно убедиться, что возможен случай, когда одна величина растет большим темпом, чем величина , и тем не менее вторая величина не только остается больше первой, но разрыв между ними все увеличивается.

Сразу заметим, что из приведенного здесь графика (рис. 4) непосредственно видно только, что скорость роста (изображаемая угловым коэффициентом) величины меньше скорости роста величины , поскольку угол больше, чем угол . Однако соотношение темпов роста усмотреть из графика сложнее.

Для того чтобы понять, как связаны друг с другом темпы роста величин и , надо проследить за отношением и воспользоваться тем, что темп прироста величины больше темпа прироста величины тогда и только тогда, когда отношение убывает. В силу того, что темп роста отличается на от темпа прироста, имеем: темп роста величины тоже больше темпа роста величины тогда и только тогда, когда отношение убывает. Обратившись к графику, убедимся в том, что убывание действительно имеет место. В самом деле: при , а при , т. е. . Да и вообще, как легко видеть, , т.е. отношение с увеличением убывает.

Значит, темп роста величины больше темпа роста величины .

Попутно мы получили тот вывод, что графики не очень наглядно изображают соотношение темпов прироста или роста. Для сравнения темпов роста лучше пригодилась бы диаграмма, изображающая долю в (рис. 5).

Зато такая диаграмма не годится для измерения абсолютных изменений. Разность между и на самом деле растет, а на диаграмме это не только не отражено, но и создается видимость обратного.

Итак, темп роста выше темпа роста , но как видно из графика (см. рис. 2), разность между и возрастает. Последнее можно получить и формально:

поскольку .

Подчеркнем, что свойства темпа роста, отражающего относительное изменение величины и скорости роста, выражающей ее абсолютное изменение или (при переходе к пределу), никак не дают повода к отождествлению этих понятий. Например, если , то скорость роста величины постоянна , а темп роста убывает с течением времени. Мало того, можно привести пример, в котором эти показатели изменяются в прямо противоположных направлениях. Пусть , тогда скорость монотонно возрастающая функция времени. Однако темп роста есть, наоборот, монотонно убывающая функция времени.

Постоянным скоростям изменения параметров соответствуют переменные темпы роста и прироста. Это можно усмотреть из рис. 2 или получить из определения темпа роста.

Если , а , то

Мы видим, что оказались функциями времени, отличными от постоянных во всех случаях, когда и не являются постоянными.

Задачи.

1. В течение года производительность труда возросла на , количество работников – на . Каков годовой темп прироста объема производства?

2. Годовой темп прироста производственных фондов равен , а объема производства – . Каков годовой темп прироста фондоотдачи?