Статьи и речи

Пуанкаре был одним из творцов метода, известного под именем «метода Шварца — Пуанкаре», с помощью которого ему удалось установить существование и свойства решений широкого класса краевых задач математической физики. Идеи, лежащие в основе этого метода, проложили путь к распространению методов Неймана и Робэна на все поверхности Ляпунова. Пуанкаре принадлежит открытие так называемого метода фундаментальных функций, обобщающего классические методы решения частных задач теории потенциала с помощью специальных функций, и, наконец, открытие замечательного метода доказательства существования решения первой краевой задачи (задачи Дирихле), свободного от ограничений, связанных с выпуклостью рассматриваемой поверхности. Речь идёт о методе, названном самим автором «методом выметания» («methode de halayage») и опубликованного в первом из указанных мемуаров.

Метод выметания явил собой пример поразительного сочетания математических и физических идей, какой история теории потенциала уже имела в работах Грина и Гаусса.

Ещё со времён Пуассона и Грина было известно, что если единичный заряд, сосредоточенный в какой-нибудь точке P внутри сферы, распределить по его поверхности так, чтобы на ней образовался так называемый слой Грина, то такое преобразование (как раз и названное Пуанкаре «операцией выметания» изнутри сферы) не приведёт к каким-либо изменениям поля вне данной сферы, Пуанкаре обратил внимание на то, что из этого утверждения, дополненного указанием о действии слоя Грина на точки внутри данной сферы, можно извлечь весьма далеко идущие следствия. Такого рода дополнение и делает сначала Пуанкаре, доказав, что операция выметания положительных масс изнутри сферы приводит к ослаблению поля внутри этой сферы. Это предложение Пуанкаре составляет, так сказать, первую, классическую основу его «метода выметания».

Вторая основа этого метода имеет чисто математический характер и связана с новыми в то время направлениями в математике, относящимися к области теории множеств. Пуанкаре показывает, что для любой замкнутой поверхности всегда можно построить счётное множество сфер (S_n), покрывающих область вне и не пересекающихся с самой поверхностью .

Если теперь представить проводник окружённый сферой центра O и радиуса R, равномерно заряженный положительным электричеством плотности, равной ¹/_4R, то внутрь некоторых из сфер (S_n) счётного покрытия, области, внешней к попадут электрические заряды. Начиная с какой-нибудь из таких сфер (S_i), произведём в любом порядке последовательные выметания, но так, чтобы каждая из сфер покрытия выметалась бесконечно много раз. Из сказанного выше следует, что каждая операция выметания может привести разве лишь к уменьшению потенциала в любой точке M пространства по сравнению с его первоначальным значением V₀, равным ^R/_OM в любой точке M вне и равным 1 внутри . Таким образом, внутри каждой из сфер (S_i

) определится некоторая невозрастающая последовательность V₁⁽ⁱ⁾, V₂⁽ⁱ⁾,…, V_n⁽ⁱ⁾ положительных функций, гармонических внутри (S_i) имеющая, следовательно, некоторый конечный предел V⁽ⁱ⁾. Согласно теореме Гарнака, этот предел также является функцией гармонической внутри (S_i

), а совокупность этих последних, взятая во всем i, определяет некоторую функцию V, гармоническую вне . Так как каждая из V_n⁽ⁱ⁾ удовлетворяет условию 0=V_n⁽ⁱ⁾V₀, то таким же свойством обладает и функция V, которая в силу этого оказывается регулярной на бесконечности.

Согласно построению, каждая из функций V_n⁽ⁱ⁾ обращается в 1 на . Для доказательства того, что таким же свойством обладает и предельная функция V Пуанкаре вынужден наложить некоторое ограничение на поверхность проводника . Именно, он предполагает, что в каждой точке этой поверхности существует определённая касательная плоскость и два определённых отличных от нуля радиуса кривизны. Эти ограничения позволяют для любой точки M₀ поверхности проводника построить сферу (S), целиком лежащую внутри и касательную к в точке M₀

. Если C —центр сферы (S) и r — её радиус, то функция -^r/_MC, рассматриваемая как функция от M, гармонична вне (S) и обращается в 1 на (S). Поэтому функция u(M)=V_n(M)- ^r/_MC, где V_n(M) — потенциал точки M, получающийся из V₀(M) после n операций выметания, будет потенциалом в точке M поля, порождаемого положительными зарядами, лежащими вне (S) и отрицательного заряда -r, сконцентрированного в центре сферы (S). В силу этого вне (S) функция u может иметь лишь максимумы, и так как U|_S=0, то вне (S U0), т. е. V_n

(M) ^r/_MC. Таким образом, вне (S) ^r/_MC V_n = V 1, и при M _-> M₀ будет V(M) _-> V(M₀)=1. Тем самым доказано существование функции, гармонической вне заданного проводника и обращающейся в 1 на поверхности этого проводника, т. е. установлено существование решения основной задачи электростатики для указанного класса поверхностей.