Статьи и речи

Существенным свойством газа является случайное движение составляющих его частиц: фактически слово «газ» означает само по себе хаос [1]. Вначале теоретики кинетической теории [2] стремились игнорировать это свойство. Они основывали свои математические доказательства на допущении, что все молекулы движутся с одной и той же скоростью, а иногда вдобавок к этому предполагали, что все молекулы расположены правильными рядами в пространстве, а затем предлагали приемлемые аргументы для доказательства, что результаты были бы теми же самыми, если бы молекулы двигались случайным образом. Именно Максвеллу мы обязаны введением статистического подхода в кинетическую теорию.

Основная гипотеза Максвелла состояла в том, что многочисленные столкновения между молекулами газа, вместо того, чтобы привести к выравниванию скоростей молекул, как предполагали некоторые учёные [3], на деле приводят к статистическому распределению скоростей, в котором могут встречаться любые скорости с известной вероятностью. Существование единственного равновесного распределения, к которому будут стремиться другие распределения, долгое время не было строго доказано и оставалось предметом разногласий в течение многих лет. Однако успех мощных методов статистической механики, которая использует максвелловское распределение в качестве основы для расчёта макроскопических свойств физических систем, а также и более непосредственные эксперименты доказывали, что эта гипотеза в основном правильна [4].

Первая статья Максвелла по кинетической теории была доложена на собрании Британской ассоциации в 1859 г. [5]. Он начал с указания на то, что при столкновении двух упругих шаров все направления отдачи являются равноправными [6]. По-видимому, он считал, что этот факт обеспечивает не только то, что все направления движения являются равновероятными в газе, но также и то, что вероятность распределения для каждого компонента скорости не зависит от значений других компонентов. Первое доказательство его закона распределения основывалось на этих двух допущениях. Максвелл позже понял, что справедливость второго предложения не очевидна, и потому попытался дать другое доказательство [7], в котором это свойство выводилось, а не являлось допущением.

Оригинальный вывод закона распределения таков: «Найти среднее число частиц, скорости которых после большого числа столкновений между большим числом равных частиц лежат между заданными пределами.

Пусть N — целое число частиц. Пусть x, y, z — компоненты скорости каждой частицы в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, и пусть число частиц, для которых x лежит между x и x+𝑑x, будет Nƒ(x)𝑑x, где ƒ(x) функция от x которая должна быть определена.

Число частиц, для которых y лежит между y и y+𝑑y, будет Nƒ(y)𝑑y; а число частиц, для которых z лежит между z и z+𝑑z будет Nƒ(z)𝑑z, где под ƒ всегда подразумевается одна и та же функция.

Наличие скорости x никак не влияет на скорости y или z, потому что все слагающие направлены под прямыми углами друг к другу и не зависят друг от друга, так, что число частиц, скорости которых лежат между x и x+𝑑x и также между y и y+𝑑y и между z и z+𝑑z равно

Nƒ(x)ƒ(y)ƒ(z)𝑑x𝑑y𝑑z.

Если предположить, что эти N частиц начинают движение из начала координат в тот же момент, то это число означает число частиц в элементе объёма (𝑑x𝑑y𝑑z) через единицу времени, а число, отнесённое к единице объёма, будет

Nƒ(x)ƒ(y)ƒ(z).

Но направления координат вполне произвольны, и поэтому это число должно зависеть только от расстояния от начала, т. е.

ƒ(x)ƒ(y)ƒ(z)

=

φ(x²+y²+z²).

Разрешая это функциональное уравнение, находим

ƒ(x)=Ce

^Ax²

,

φ(r²)=C²e

^Ar²

.

Если считать A положительным, то это число частиц будет возрастать со скоростью, и мы найдём, что полное число частиц бесконечно. Поэтому допустим, что A отрицательно и равно — -1/α², так что число частиц, заключённых между x и x+𝑑x, равно

NCe

^-𝑥²/α²

𝑑x.

Интегрируя от x=-∞ до x=+∞, находим полное число частиц

NC√

π

α=N,

откуда

C=

1

α√π

,

а поэтому ƒ(x) равно

1

α√π

e

^-𝑥²/α²

.

Отсюда мы можем вывести следующие заключения:

1) Число частиц, скорость которых после разложения по определённому направлению лежит между x и x+𝑑x есть

N

1

α√π

e

^-𝑥²/α²

𝑑x.

2) Число частиц, фактическая скорость которых лежит между v и v+𝑑v, равно

N

4

α³√π

v²e

^-v²/α²

𝑑v.

3) Чтобы найти среднее значение v, необходимо сложить скорости всех частиц и разделить на число частиц. В результате получим: средняя скорость v=^2α/_√π.

4) Для того чтобы найти среднее значение v² нужно сложить все значения вместе и разделить на N среднее значение v²=³/₂α². Это больше, чем квадрат средней скорости, как и должно быть» [8].

Обобщение на случай, когда молекулы подвержены действию внешней силы, было выполнено в 1873 г. [9]. Обозначая через (ξ, η, ς) компоненты скорости, можно записать распределение скоростей в данном месте в виде

𝑑N=Ce

^{AM(ξ²+η²+ς²)}

𝑑ξ𝑑η𝑑ς𝑑x𝑑y𝑑z,