Статистика и котики

Чтобы понять, насколько они отличаются друг от друга, необходимы так называемые меры различий для несвязанных выборок. Большая часть таких мер показывает, насколько типичный песик отличается от типичного котика. Например, самая популярная из них — t-критерий Стьюдента для несвязанных выборок — оценивает, насколько различаются их средние размеры.

Чтобы рассчитать этот критерий, необходимо из среднего размера песиков вычесть средний размер котиков и поделить их на стандартную ошибку этой разности. Последняя вычисляется на основе стандартных отклонений котиковых и песиковых размеров и нужна для приведения t-критерия к нужной размерности.

Если разность средних достаточно большая, а стандартная ошибка очень маленькая, то значение t-критерия будет весьма внушительным. А чем больше t-критерий, тем с большей уверенностью мы можем утверждать, что в среднем песики отличаются от котиков.

К большому сожалению, поскольку формула t-критерия включает в себя средние значения, то этот критерий будет давать неадекватные результаты при наличии котиков и песиков аномальных размеров (т. е. выбросов, о которых подробно рассказано в первой главе). Чтобы этого избежать, вы можете либо исключить этих котиков и песиков из анализа, либо воспользоваться непараметрическим U-критерием Манна-Уитни

. Этот критерий, кстати, используется и в тех ситуациях, когда точные (сантиметровые) размеры животных нам неизвестны.

Чтобы рассчитать критерий Манна-Уитни, необходимо выстроить всех песиков и котиков в один ряд, от самого мелкого к самому крупному, и назначить им ранги. Самому большому зверьку достанется первый ранг, а самому маленькому — последний.

После этого мы снова делим их на две группы и считаем суммы рангов отдельно для песиков и для котиков. Общая логика такова: чем сильнее будут различаться эти суммы, тем больше различаются песики и котики.

Наконец, мы проводим некоторые преобразования (которые в основном сводятся к поправкам на количество котиков и песиков) и получаем критерий Манна-Уитни, по которому судим, в действительности ли котики и песики отличаются по размеру.

Помимо определения различий между типичными представителями котикового и песикового видов, в некоторых случаях нас могут интересовать различия по их разнообразию. Иными словами, мы можем посмотреть, являются ли песики более разнообразными по размеру, чем котики, или же нет. Для этого мы можем воспользоваться F-критерием равенства дисперсий Фишера, который укажет нам, насколько различаются между собой эти показатели.

Необходимо заметить, что в этой формуле сверху всегда должна стоять большая дисперсия, а снизу — меньшая.

Все вышеперечисленные критерии замечательно работают в случаях, когда нам известны точные или хотя бы приблизительные размеры котиков и песиков. Однако такие ситуации встречаются далеко не всегда. Иногда мы можем иметь только указание на то, является ли наш зверь большим или маленьким. В таких нелегких условиях определить различия между котиками и песиками нам поможет критерий Хи-квадрат Пирсона.

Чтобы вычислить этот критерий, нужно построить так называемые таблицы сопряженности. В простейшем случае это таблицы 2х2, в каждой ячейке которых — количество (или, по-научному, частота) песиков и котиков определенного размера. Впрочем, бывают таблицы сопряженности и с большим количеством столбцов и строчек.

Очевидно, что если котики и песики как биологические виды не отличаются по размеру, то больших котиков должно быть столько же, сколько и больших песиков (в процентном соотношении). И основная идея критерия Хи-квадрат состоит в том, чтобы сравнить такую таблицу, в которой песики не отличаются от котиков (иначе — таблицу теоретических частот), с той, что есть у нас (таблицей эмпирических частот).

Перво-наперво необходимо получить таблицу теоретических частот. Для этого для каждой ячейки подсчитывается теоретическая частота по такой формуле.

Следующим шагом мы смотрим, насколько сильно различаются между собой соответствующие ячейки в наших таблицах. Делается это вот так.

Квадрат в числителе этой формулы убирает знак, а знаменатель приводит Хи-квадрат в нужную размерность. Заметим, что если теоретическая частота равна эмпирической, то, применив эту формулу, мы получим 0.

Последним шагом мы складываем все получившиеся значения. Это и будет Хи-квадрат Пирсона. Чем он больше, тем сильнее отличаются песики от котиков.