Страницы автобиографии

Задача решить вопрос о мощности борелевских множеств была мне поставлена Н. Н. Лузиным весною 1915 г., после того как я передоказал уже известный результат о мощности всех множеств типа F_σδ.

С Н. Н. Лузиным я познакомился осенью 1914 г., после того как он вернулся из длительной научной заграничной командировки. О моём чрезвычайно сильном впечатлении от первой встречи с Н. Н. Лузиным рассказано в моей лекции «О призвании учёного», изданной отдельной брошюрой и перепечатанной во втором томе моих сочинений ¹.

Взявшись за решение поставленной мне Лузиным общей проблемы, я начал с частного случая борелевских множеств низших классов и стал доказывать, что всякое несчётное множество типа F_σδσδ. (я их называл множествами четвёртого класса) имеет мощность континуума. При решении задачи в этом частном случае уже полностью выявилась и общая идея. Фактически было доказано, что всякое множество упомянутого класса может быть получено применением

A-операции к замкнутым множествам и затем было доказано, что всякое несчётное A-множество содержит совершенное множество. Однако когда я сообщил свою идею доказательства Н. Н. Лузину, он отнёсся к ней с недоверием и стал меня убеждать в том, что мой план доказательства ни к чему, кроме множеств F_σδ, привести не может. Любопытно, что когда много лет спустя, в 1923 г.Урысон и я стали излагать A

-операцию (ставшую к тому времени, как нам казалось, общим достоянием теории множеств) известному математику Каратеодори, издавшему перед тем свою книгу по теории множеств и функций, то Каратеодори стал с полной уверенностыо доказывать нам, что всякое А-множество в действительности есть множество типа F_σδ. Значит, при всей простоте понятия A-операции было в нём что-то, создававшее какие-то психологические трудности при первом с ним ознакомлении. Конечно, вполне возможно и то, что моё первое изложение идеи доказательства было недостаточно чётким и оправдывало скептицизм Н. Н. Лузина. Но, так или иначе, скептицизм этот был полный и Н. Н. Лузин рекомендовал мне в отмену моего плана решать задачу в противоположном смысле и пытаться строить борелевское множество мощности

₀א. К счастью, я не послушался на этот раз своего учителя. К концу лета мне удалось провести своё доказательство в полной общности и во всех деталях. Первый человек, которому я его подробно рассказал и который проверил его со всей самой придирчивой строгостью, был В. В. Степанов, как никто умевший критически разбирать доказательства в любой известной тогда области математики. Затем доказательство было рассказано И. И. Привалову

С того самого времени, когда Лебег в своём знаменитом мемуаре 1905 г. провозгласил, что в математике фактически не существует множеств, кроме борелевских, вопрос об их мощности воспринимался как один из центральных во всей теории множеств и его решение рассматривалось как большое открытие. На мой доклад 13 октября 1915 г. в студенческом математическом кружке пришли даже такие маститые профессора как Л. К. Лахтин и Б. К. Млодзеевский. Были на моём докладе Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин, а также и все молодые математики, начиная с В. В. Степанова и И. И. Привалова и все интересующиеся математикой наши студенты. Среди них был и П. С. Урысон, только что поступивший в университет. С ним я тогда впервые познакомился. Впервые я познакомился в этот день и с В. К. Серпинским. Он уже находился тогда в Москве и тоже пришёл на мой доклад в студенческом математическом кружке. Суслина я в эту осень увидел впервые тоже на своём докладе. Естественно, что как только мы наконец встретились, я рассказал ему во всех подробностях о своих результатах. Мы стали без конца говорить о связанных с ними вопросах. Часто в наших разговорах принимал участие и В. В. Степанов, всегда живо откликавшийся на всё, что происходило в тогдашней московской математике. Тогда же именно Суслин предложил назвать новую построенную мною теоретико-множественную операцию А-операцией, а множества, получающиеся её применением к замкнутым множествам, А-множествами. Он подчеркнул при этом, что предлагает эту терминологию в мою честь по аналогии с борелевскими множествами, которые уже тогда стало принято называть В

-множествами.

Эта касающаяся меня терминологическая деталь была по живым следам отмечена в статьях М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника, посвящённых истории Московской математической школы, а позже и в статье Л. В. Келдыш. Мне этот вопрос о моём приоритете в данном случае никогда не был безразличен, ведь он касался моего первого и (может быть, именно поэтому) самого дорогого мне результата.

Много лет спустя Н. Н. Лузин стал называть A-множества аналитическими множествами и стал, вопреки хорошо известным ему фактам, утверждать, что термин A-множество есть лишь сокращение от «аналитические множество». Но к этому времени мои личные отношения с Н. Н. Лузиным, когда-то глубокие и проникновенные, были, по существу, утрачены.