Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

В противовес такому графическому доказательству, основанному на теории пропорций Пифагора, — теории несовершенной, так как она применима только к соизмеримым количествам, — некоторые историки математики выдвигают другое доказательство, алгебраического характера. Пифагор мог доказать теорему через подобие треугольников — на рисунке 9 треугольники АВС, АСН и СВН — с пропорциональными соответствующими сторонами. Возьмем треугольник АВС с прямым углом С, для которого отрезок СН представляет собой высоту, опущенную на гипотенузу, и делит ее на отрезки d и V — проекции, соответственно катетов а и b. Прямоугольные треугольники АВС, АСН и СВН имеют три общие стороны: каждый из треугольников имеет по две стороны, общие с другими, а их острые углы равны, так как они либо общие, либо составляют вместе прямой угол. Таким образом, треугольники подобны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЧЕРЕЗ ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Подобие треугольников можно применить двумя способами.

— Подобие треугольников АВС и АСН: два треугольника подобны, когда два или более угла у них конгруэнтны (что доказал Евклид):

b/b' = c/b

b2 = b'c.

— Подобие треугольников АВС и СВН:

a/a' = c/a

a2 = a'c.

из чего вытекает так называемая теорема катета. Суммируем:

а² + b² = а'с + b'с = с(а' + b'),

но (а' + b') = с, из чего следует

а² + b² = с

².

«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА

Евклид жил в Александрии около 300 года до н.э. и был автором «Начал» (Stoicheia) — труда, оказавшего огромное влияние на развитие математики и науки в целом. В этой книге он собрал все геометрические знания своей эпохи, не считая собственных доказательств, изложенных строго и изящно, включая определения, формулировки и общие сведения. Этот труд был не просто блестящим компендиумом, а серьезной работой по упорядочиванию геометрических знаний. Возможно, именно поэтому вплоть до последнего времени эта книга оставалась эталоном геометрического трактата. «Начала» занимают второе место по количеству изданий и переводов, уступая только Библии. К настоящему времени они выдержали более тысячи переизданий.

«Начала» делятся на 13 книг: четыре первые посвящены основам планиметрии — конгруэнтность треугольников, равенство площадей, золотое сечение, круг, правильные многоугольники, некоторые квадратуры и, естественно, теорема Пифагора (книга I, предложение 47). Свойства теоремы Пифагора используются в геометрическом контексте измерения площади фигур. Теорема Пифагора вновь упоминается в книге VI, а также в книге X, где речь идет о квадратных корнях.

В предложении 47 Евклид постулирует, что в квадратных треугольниках квадрат стороны, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов сторон, прилегающих к нему. Иллюстрация к этому утверждению получила название «ветряной мельницы» (см. рисунок).

Доказательство выполняется с помощью расчета площадей. Оно заключается в том, чтобы доказать равенство треугольников BFA и ВСЕ и то, что их удвоенная площадь равна, с одной стороны, площади квадрата CBFJ, а с другой — площади прямоугольника ВШЕ. Таким же образом квадрат CKGA имеет ту же площадь, что и прямоугольник AIHD. Отсюда выводится теорема Пифагора, которую можно сформулировать следующим образом: площадь квадрата BADE равна сумме площадей квадратов CBFJ и CKGA.

ЕВКЛИД ИЗ АЛЕКСАНДРИИ

Евклида считают отцом геометрии.

Хотя, по всей вероятности, ни один из результатов в «Началах» не является его открытием, нет сомнений, что именно Евклиду мы обязаны структурированием сведений и способом их изложения. О его жизни известно мало — почти исключительно те сведения, которые сообщает философ Прокл (V век) в своих комментариях к книге I «Начал».