Тени разума. В поисках науки о сознании

Для того чтобы пояснить, что именно понимается под вычислением, зависящим от натурального числа n, рассмотрим два примера:

(F) найти число, не являющееся суммой квадратов n чисел,

и

(G) найти нечетное число, являющееся суммой n четных чисел.

Припомнив, о чем говорилось выше, мы без особого труда убедимся, что вычисление (F) завершается только при n = 0, 1, 2 и 3 (давая в результате, соответственно, 1, 2, 3 и 7), тогда как вычисление (G) вообще не завершается ни при каком значении n. Вздумай мы действительно доказать, что вычисление (F) не завершается при n, равном или большем 4, нам понадобилась бы более или менее серьезная математическая подготовка (по крайней мере, знакомство с доказательством Лагранжа); с другой стороны, тот факт, что ни при каком n не завершается вычисление (G), вполне очевиден. Какими же процедурами располагают математики для установления незавершаемой природы таких вычислений в общем случае? Можно ли сами эти процедуры представить в вычислительной форме?

Предположим, что у нас имеется некая вычислительная процедура А, которая по завершении[9] дает нам исчерпывающее доказательство того, что вычисление C(n

) действительно никогда не заканчивается. Ниже мы попробуем вообразить, что A включает в себя все известные математикам процедуры, посредством которых можно убедительно доказать, что то или иное вычисление никогда не завершается. Соответственно, если в каком-то конкретном случае завершается процедура A, то мы получаем, в рамках доступного человеку знания, доказательство того, что рассматриваемое конкретное вычисление никогда не заканчивается. Большая часть последующих рассуждений не потребует участия процедуры A именно в такой роли, так как они посвящены, в основном, математическим умопостроениям. Однако для получения окончательного заключения G нам придется-таки придать процедуре A соответствующий статус.

Я, разумеется, не требую, чтобы посредством процедуры A всегда можно было однозначно установить, что вычисление C(n) нельзя завершить (в случае, если это действительно так); однако я настаиваю на том, что неверных ответов A не дает, т.е. если мы с ее помощью пришли к выводу, что вычисление C(n) не завершается, значит, так оно и есть. Процедуру A, которая и в самом деле всегда дает верный ответ, мы будем называть обоснованной.

Следует отметить, что если процедура A оказывается в действительности необоснованной, то этот факт, в принципе, можно установить с помощью прямого вычисления — иными словами, необоснованную процедуру A можно опровергнуть вычислительными методами: если А ошибочно утверждает, что вычисление C(n

) нельзя завершить, тогда как в действительности это не так, то выполнение самого вычисления C(n) в конечном счете приведет к опровержению А. (Возможность практического выполнения такого вычисления представляет собой отдельный вопрос, его мы рассмотрим в ответе на возражение Q8.)

Для того чтобы процедуру A можно было применять к вычислениям в общем случае, нам потребуется какой-нибудь способ маркировки различных вычислений C(n), допускаемый A. Все возможные вычисления C можно, вообще говоря, представить в виде простой последовательности

C₀, C₁, C₂, C₃, C₄, C

₅, …,

т.е. q-e вычисление при этом получит обозначение C_q. В случае применения такого вычисления к конкретному числу n будем записывать

C₀(n), C₁(n), C₂(n), C₃(n), C₄(n), C

₅(n), ….

Можно представить, что эта последовательность задается, скажем, как некий пронумерованный ряд компьютерных программ. (Для большей ясности мы могли бы, при желании, рассматривать такую последовательность как ряд пронумерованных машин Тьюринга, описанных в НРК; в этом случае вычисление C_q(n) представляет собой процедуру, выполняемую q-й машиной Тьюринга T_q над числом n.) Здесь важно учитывать следующий технический момент: рассматриваемая последовательность является вычислимой — иными словами, существует одно-единственное[10] вычисление C_•, которое, будучи выполнено над числом q, дает в результате C_q, или, если точнее, выполнение вычисления C_• над парой чисел q, n (именно в таком порядке) дает в результате C_q(n).