Теория пределов и нейросети. Практикум

Знаменатель равен нулю, что означает, что есть неопределённость вида ( \frac{0}{0} ). Для разрешения этой неопределённости применим разложение в ряд Тейлора в окрестности точки ( x = 5 ).

Разложим каждый квадратный корень в ряд Тейлора:

[ \sqrt{1 + 3x} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{3(x – 5)}{4} ]

[ \sqrt{2x + 6} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{x – 5}{4} ]

Теперь подставим разложения в функцию ( f(x) ):

[ f(x) = \frac{\left( 4 + \frac{3(x – 5)}{4} \right) – \left( 4 + \frac{x – 5}{4} \right)}{x^2 – 5x} ]

[ f(x) = \frac{\frac{3(x – 5)}{4} – \frac{x – 5}{4}}{x^2 – 5x} ]

[ f(x) = \frac{\frac{2(x – 5)}{4}}{x^2 – 5x} ]

[ f(x) = \frac{\frac{1}{2}(x – 5)}{x(x – 5)} ]

[ f(x) = \frac{1}{2x} ]

Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 5 ):

[ \lim_{{x \to 5}} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} ]

Итак, предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ) равен ( \boxed{\frac{1}{10}} ).Ответ: 1/10.

10. Найти предел функции f(x) = (7^x – 3^x)/x при x стремящемся к 0.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ), мы можем использовать формулу для предела функции, в которой в знаменателе стоит ( x ).

Прежде чем вычислять, заметим, что подстановка ( x = 0 ) напрямую в функцию даст неопределённость ( \frac{0}{0} ), поэтому используем разложение в ряд Тейлора для функций ( 7^x ) и ( 3^x ) в окрестности точки ( x = 0 ):

[ 7^x \approx 1 + \ln(7) \cdot x ]

[ 3^x \approx 1 + \ln(3) \cdot x ]

Теперь выразим ( f(x) ) с использованием этих разложений:

[ f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} \approx \frac{(1 + \ln(7)x) – (1 + \ln(3)x)}{x} ]

[ f(x) = \frac{\ln(7)x – \ln(3)x}{x} ]

[ f(x) = \ln(7) – \ln(3) ]

Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ) равен ( \boxed{\ln\left(\frac{7}{3}\right)} ).Ответ:ln7 – ln3.

Более детальные комментарии к данным решениям, на мой взгляд, не нужны.

Попробуйте самостоятельно найти пределы следующих функции:

1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3

.

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.

3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.

Решение будет приведено в следующей главе.

Глава 2

Выполнение заданий из главы 1.

1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.

3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.

Посмотрим, как с ними справится нейросеть GPTutor

1)f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.

GPTutor

Функция ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать с помощью предела:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1 – 2n}{3n – 2} ]

Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя (если оно применимо), либо анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.

Давайте разберемся:

Числитель функции ( 1 – 2n ) при больших значениях ( n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, так как коэффициент при ( n ) больше знаменателя ( 3n – 2 ), который будет расти до положительного бесконечно малого, что говорит о

Автор

А где решение?

GPTutor

Извините за недоразумение! Давайте найдем предел функции ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n \to \infty ).

Как я упоминал ранее, числитель ( 1 – 2n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, а знаменатель ( 3n – 2 ) будет расти до положительного бесконечно большого при увеличении ( n ).

Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на ( n ):

[ f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} = \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]

Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]

Здесь можно заметить, что ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ) при ( n \to \infty ).

Тогда предел выражения равен:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{0 – 2}{3 – 0} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} ]

Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен ( -\frac{2}{3} ).

Ответ: – 2/3.

Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, скажите!

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.

GPTutor

Функция ( f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать аналогично предыдущему случаю:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ]

Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, снова можно воспользоваться правилом Лопиталя или анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.

Разделим числитель и знаменатель на ( n ):