Ткань космоса. Пространство, время и текстура реальности

Ещё в 1687 г., формулируя закон всемирного тяготения, Ньютон в действительности сделал сильное утверждение относительно количества пространственных измерений. Ньютон не просто сказал, что сила притяжения между объектами уменьшается по мере увеличения расстояния между ними. Он предложил формулу, обратную квадратичную зависимость, точно описывающую, как уменьшается гравитационное притяжение с увеличением расстояния между двумя объектами. Согласно этой формуле, если удвоить расстояние между объектами, то гравитационное притяжение между ними снизится в 4 раза (2²); если утроить это расстояние, то притяжение уменьшится в 9 раз (3²); а если учетверить расстояние, то гравитационное притяжение станет слабее в 16 раз (4

²); в общем случае, гравитационная сила падает пропорционально квадрату расстояния между объектами. Как стало совершенно очевидно за последние несколько сотен лет, эта формула прекрасно работает.

Но почему сила гравитации подчиняется именно квадратичной зависимости? Почему бы ей не падать пропорционально кубу расстояния (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 8 раз), либо четвёртой степени (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 16 раз), либо, возможно, просто пропорционально расстоянию между объектами (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 2 раза)? Ответ напрямую связан с количеством измерений пространства.

Чтобы это понять, можно, например, думать о количестве гравитонов, испускаемых и поглощаемых объектами в зависимости от расстояния между ними, или о том, насколько кривизна пространства-времени уменьшается по мере увеличения расстояния между объектами. Но мы поступим проще, взяв на вооружение старый подход, который быстро и наглядно приведёт нас к правильному ответу. Посмотрим на рисунок (рис. 13.4а), схематически иллюстрирующий гравитационное поле массивного объекта (например, Солнца), во многом подобный рис. 3.1, на котором представлено магнитное поле стержневого магнита. Отметим важное отличие: в то время как силовые линии магнитного поля простираются от северного полюса магнита к его южному полюсу, линии гравитационного поля однородно расходятся во всех направлениях от одной точки, схематически представляющей Солнце. Сила гравитационного притяжения, испытываемого другим объектом (представим себе спутник, вращающийся по орбите вокруг Солнца), будет ощущаться пропорционально плотности линий поля в месте нахождения этого объекта. Чем больше линий поля пронизывают спутник (как на рис. 13.4б

), тем больше испытываемое им гравитационное притяжение.

Рис. 13.4. (а) Гравитационное притяжение между двумя объектами, такими как Солнце и спутник, обратно пропорционально квадрату расстоянии между ними. Причина кроется в том, что линии гравитационного поля Солнца расходятся однородно во всех направлениях (б) и, следовательно, их плотность на расстоянии

d обратно пропорциональна площади воображаемой сферы радиуса d, схематически изображённой на рис. (в), а эта площадь согласно элементарной геометрии пропорциональна d

²

Теперь мы можем объяснить, откуда берётся обратная квадратичная зависимость в законе Ньютона. Воображаемая сфера с центром на Солнце, проходящая через место нахождения спутника (рис. 13.4в), имеет площадь (подобно площади поверхности любой сферы в трёхмерном пространстве), пропорциональную квадрату её радиуса, т. е. квадрату расстояния между Солнцем и спутником. Значит, плотность линий гравитационного поля, проходящих через сферу (суммарное количество линий, поделённое на площадь поверхности сферы), уменьшается по закону обратных квадратов с увеличением расстояния между Солнцем и спутником. Если удвоить это расстояние, то одно и то же количество линий поля будет равномерно распределено по сфере, имеющей в четыре раза большую площадь, и, следовательно, гравитационное притяжение уменьшится в 4 раза на этом расстоянии. Таким образом, обратная квадратичная зависимость в законе Ньютона является отражением геометрических свойств сфер в трёхмерном пространстве.