Том 1. Механика, излучение и теплота

Фиг. 18.1. Кинематика двумерного вращения.

Через промежуток времени Δt тело целиком повернется на угол Δθ, а вместе с ним повернется и наша частица. Хотя расстояние от нее до оси вращения О остается тем же самым, она уже переместится в другую точку, Q. Первое, что хотелось бы знать, это насколько изменятся расстояния х и y. Если обозначить через r длину ОР, то длина PQ будет равна rΔθ (просто по определению угла). Тогда изменение расстояния х

будет равно проекции rΔθ на ось х

(18.6)

Аналогично,

(18.7)

Если тело вращается с угловой скоростью ω, то, деля обе части равенства (18.6) и (18.7) на Δt, найдем компоненты скорости частицы

(18.8)

Если же нам требуется абсолютная величина скорости, то мы просто пишем

(18.9)

Не удивительно, что абсолютная величина скорости получилась равной ωr; это же очевидно; ведь полное пройденное расстояние равно rΔθ, а поэтому расстояние, пройденное за 1 сек, будет rΔθ/Δt, или rω.

Перейдем теперь к рассмотрению динамики вращения. Здесь следует ввести новое понятие — силу. Давайте посмотрим, нельзя ли изобрести нечто, играющее ту же роль, что и сила в линейном движении. Это нечто мы будем называть моментом силы, или просто моментом. Обычно под силой мы понимаем нечто, заставляющее покоящееся тело двигаться, а то, что заставляет тело вращаться, есть «вращающая», или «крутящая», сила; ее мы называем моментом. Таким образом, качественно момент силы — это кручение; но что такое момент силы количественно? Количественную теорию момента можно получить, изучая работу, затраченную на поворот тела. Этот подход очень хорош и для определения силы: если мы знаем, какая требуется работа, чтобы совершить данное перемещение, то знаем и силу. Чтобы продолжить соответствие между угловыми и линейными величинами, мы должны приравнять работу, которая производится при повороте тела на какой-то угол, к произведению момента

на этот угол. Другими словами, при таком определении момента теорема о работе имеет абсолютный аналог: работа есть сила на перемещение, или момент на угол. Это сразу говорит нам, что такое момент количественно. Рассмотрим, например, твердое тело, вращающееся вокруг оси, на которое действуют различные силы. Сконцентрируем сначала наше внимание на одной силе, приложенной к некоторой точке (x, y). Какую работу мы затрачиваем, поворачивая тело на некоторый малый угол Δθ? Нетрудно понять, что она равна

(18.10)

Теперь нужно только подставить выражения (18.6) и (18.7) для Δx и Δy и получить

(18.11)

т. е. работа, которую мы проделали, равна углу, на который было повернуто тело, умноженному на какую-то странную комбинацию сил и расстояний. Эта «странная комбинация» и есть момент. Таким образом, определяя изменение работы как момент, умноженный на угол поворота, мы получаем формулу, выражающую момент через силы. (Это понятно. Поскольку момент не является полностью новым понятием, не зависящим от механики Ньютона, то он должен определенным образом выражаться через силу.)

Пусть теперь на тело действует несколько сил. Тогда работа, производимая этими силами, равна сумме работ от каждой силы, так что ΔW будет иметь вид суммы множества членов: по одному для каждой из сил, однако каждый из них пропорционален Δθ. Эту величину Δθ можно вынести за скобку и получить, что работа равна сумме моментов от всех действующих сил, умноженной на Δθ. Эту сумму можно назвать полным моментом сил и обозначить τ. Как видите, моменты складываются по обычным законам алгебры, однако, как вы узнаете после, это происходит из-за того, что мы ограничиваемся только плоскими вращениями. Эта ситуация напоминает одномерное движение, в котором силы просто складываются алгебраически; ведь все они в этом случае действуют вдоль одной и той же прямой. В трехмерном пространстве все более сложно. Таким образом, для двумерного вращения

(18.12)

и

(18.13)

Нужно только помнить, что это справедливо лишь для вращения вокруг одной оси. Если брать различные оси, то все х_i и y_i изменятся, соответственно изменяются (обычно) и величины моментов.

Отвлечемся теперь на минуту и заметим, что предыдущий способ введения момента дает очень важный результат для тела, находящегося в равновесии: если сбалансированы все силы, действующие на объект, и перемещающие и вращающие, то нужно, чтобы не только полная сила была равна нулю, но и полный момент, так как при малом перемещении объекта, находящегося в равновесии, никакой работы не производится. Следовательно, из того, что ΔW=τΔθ=0, можно заключить, что сумма всех моментов должна быть равна нулю. Таким образом, для равновесия необходимо выполнение двух условий: а) сумма всех сил равна нулю и б) сумма всех моментов тоже равна нулю. Попробуйте доказать сами, что в двумерном случае достаточно равенства нулю суммы моментов сил относительно какой-либо одной оси.