Том 1. Механика, излучение и теплота

Пусть Джо для своих координатных осей x, y, z определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х', у', z' по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси x и y. Мик выбрал другие оси х' и у', а его ось z осталась той же самой. Это означает, что плоскости yz и zx у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости х'у' окажется равным x'F_y'-y

'F_x' и т. д. Следующая задача — найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно решить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,— скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» — спросите вы. Действительно, он — вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны

(20.1)

* * *

В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подобных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать τ_yz=zF_y-yF_z? Этот вопрос связан с тем обстоятельством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у τ_xy, можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:

* * *

Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе.

(20.2)

Пусть одна система координат повернута на угол θ по отношению к другой, так что ось z осталась той же самой. (Угол θ ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то происходящим внутри системы координат. Это просто связь между осями, используемыми одним человеком, и осями, используемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоянным.) При этом координаты в двух системах связаны так:

(20.3)

Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как x, y и z. Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобразуются как x, y и z

(20.4)

Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо х', у' и z' выражение (20.3), а для F_x', F_y', и F_z'-— выражение (20.4). В результате для τ_x'y'

получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению xF_y-yF_x, которое, как известно, является моментом силы в плоскости ху:

(20.5)

Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости ху, при этом момент относительно оси z в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для τ_V'Z'. Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью y'z', то получим

(20.6)

И наконец, для плоскости z'x'

(20.7)

Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно запомнить это правило? Если внимательно посмотреть на уравнения (20.5)—(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для x, y и z существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать τ_xу z-компонентой чего-то, скажем z-компонентой вектора τ, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора τ, ибо z-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость yz с x-компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость zx с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

(20.8)

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xF_y-yF_x можно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.