Том 1. Механика, излучение и теплота

Ведь i в четвертой степени — это i² в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если 10^0,68i равно i, то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив 10^2,72i, мы получим +1. Если нужно получить, например, 10^3,00i, то нужно умножить 10^2,72i на 10^0,28i. Иначе говоря, функция 10^is повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим 2,3025s через t и напишем 10^is=e^it, где t — действительное число. Известно, что e^it=x+iy, и мы запишем это число в виде

(22.8)

Каковы свойства алгебраического косинуса cost и алгебраического синуса sin

t? Прежде всего x²+y²=1; это мы уже доказали, и это верно для любого основания, будь то 10 или е. Следовательно, cos²t+sin²t=1. Мы знаем, что e^it=1+it для малых t; значит, если t — близкое к нулю число, то _cost близок к единице, a _sint близок к t. Продолжая дальше, мы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функций, получающихся в результате возведения в мнимую степень, в точности совпадают со свойствами тригонометрического синуса и тригонометрического косинуса.

А как обстоит дело с периодом? Давайте найдем его. В какую степень надо возвести е, чтобы получить i? Иными словами, чему равен логарифм i по основанию е? Мы вычислили уже логарифм i

по основанию 10; он равен 0,68226i; чтобы перейти к основанию е, мы умножим это число на 2,3025 и получим 1,5709i. Новое число (без i) можно назвать «алгебраическим π/2». Но поглядите-ка, оно отличается от настоящего π/2 всего лишь последним десятичным знаком, и это просто-напросто следствие наших приближений при вычислениях! Таким образом, чисто алгебраически возникли две новые функции — синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их следам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии. Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией.

Подводя итог нашим поискам, мы напишем одну из самых замечательных формул математики

(22.9)

Вот она, наша жемчужина.

Связь между алгеброй и геометрией можно использовать для изображения комплексных чисел на плоскости; точка на плоскости определяется координатами х и у (фиг. 22.2).

Фиг. 22.2. Комплексное число как точка на плоскости.

Представим каждое комплексное число в виде x+iy. Если расстояние точки от начала координат обозначить через r, а угол радиуса-вектора точки с осью x — через θ, то выражение x+iy можно представить в виде reⁱθ. Это следует из геометрических соотношений между x, y, r и θ. Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию. Начиная эту главу, мы знали только целые числа и умели их считать. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические «законы», или свойства чисел, сведенные в уравнения (22.1), и определения обратных операций (22.2), мы смогли создать не только новые числа, но и такие полезные вещи, как таблицы логарифмов, степеней и тригонометрические функции (они возникли при возведении действительных чисел в мнимые степени), и все это удалось сделать, извлекая много раз квадратный корень из десяти!

Глава 23 РЕЗОНАНС

§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде a=a

_r+ia_i; при такой записи индекс r отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a=x+iy можно записать и так: x+iy=rexp(iθ), где r²=x²+y²=(x+iy)(x-iy

)=aa^* (а^* — это комплексно сопряженное к а число; оно получается из а изменением знака i).

Фиг. 23.1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплексной плоскости».

Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем r и фазовым углом θ. Если заданы r и θ, то х и у равны rcosθ и rsinθ, и, наоборот, исходя из числа x+iy, можно найти r=√(x²+y²)и угол θ; tgθ равен у/х (т. е. отношению мнимой и действительной частей).