Том 1. Механика, излучение и теплота

Чтобы убедиться, что путь по прямой здесь не самый быстрый, представим себе следующую ситуацию: хорошенькая девушка падает из лодки в воду в точке В и кричит, просит спасти. Линия X — это берег. Вы находитесь на суше в точке А и видите, что произошло, вы умеете плавать и умеете бегать. Но бегаете вы быстрее, чем плаваете. Что вам делать? Бежать по прямой к берегу? (Конечно!) Но, немного поразмыслив, вы поймете, что выгоднее пробежать несколько дольше по берегу, чтобы уменьшить ваш путь в воде, потому что в воде вы будете двигаться гораздо медленнее. (Рассуждая таким образом, лучше всего было бы заранее тщательно вычислить путь!) Во всяком случае, давайте попытаемся показать, что окончательное решение задачи — это путь АСВ, который занимает из всех возможных наименьшее время. Если этот путь кратчайший по времени, то любой другой окажется длиннее. Поэтому если отложить на графике зависимость времени от положения точки X, получится кривая, похожая на изображенную на фиг. 26.5, где точка С соответствует наименьшему времени.

Фиг. 26.5 Наименьшее время получается при выборе точки С. Соседние точки приводят примерно к такому же времени прохождения.

Это означает, что для точек X вблизи С в первом приближении время прохождения практически

одинаковое, так как в точке С наклон кривой равен нулю. Итак, наш способ найти искомый путь сводится к требованию, чтобы при небольшом изменении положения точки время прохождения не менялось. (Конечно, возникнут бесконечно малые изменения времени второго порядка, и они должны быть положительными при смещении в обе стороны от точки С.) Возьмем близкую точку X, вычислим время прохождения на пути АХВ и сравним его со старым путем АСB. Сделать это очень просто. Конечно, нужно еще, чтобы разность времен стремилась к нулю для малых расстояний ХС. Обратимся сначала к пути по суше. Если мы опустим перпендикуляр ЕХ, то легко увидим, что наш путь стал короче на длину ЕС. Можно сказать, что это расстояние мы выиграли. С другой стороны, опустив перпендикуляр CF

, мы увидим, что в воде приходится проплыть дополнительное расстояние XF. В этом мы проиграли. С точки зрения экономии времени выигрывается время на отрезке ЕС, но теряется на отрезке XF. Эти два интервала времени должны быть равны, так как в первом приближении полное время прохождения не меняется. Предположив, что скорость в воде равна скорости в воздухе, умноженной на 1/n, получим

(26.3)

Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку С (XCsinEXC=nXCsinXCF) или мы сократили на длину общей гипотенузы ХС и заметили, что

то мы получим

(26.4)

Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном n, свет должен двигаться из одной точки в другую по такому пути, чтобы отношение синусов θ_i и θ_r было равно отношению скоростей в двух средах.

§ 4. Применения принципа Ферма

Рассмотрим теперь некоторые интересные следствия принципа наименьшего времени. Первое из них — принцип обратимости. Мы уже нашли путь из A в В, требующий наименьшего времени; пойдем теперь в обратном направлении (считая, что скорость света не зависит от направления). Наименьшему времени отвечает та же траектория, и, следовательно, если свет распространяется по некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому пути и в обратном направлении.

Другой интересный пример! На пути света под некоторым углом поставлена четырехгранная стеклянная призма с параллельными гранями. Свет проходит из точки А в В и, встретив на своем пути призму (фиг. 26.6), отклоняется, причем длительность пути в призме уменьшается за счет изменения наклона траектории, а путь в воздухе немного удлиняется.

Фиг. 26.6. Луч света, выходящий из прозрачной пластины, параллелен падающему лучу.

Участки траектории вне призмы оказываются параллельными друг другу, потому что углы входа и выхода из призмы одинаковы.

Третье интересное явление состоит в том, что когда мы смотрим на заходящее солнце, то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта! Нам кажется, что солнце еще над горизонтом, а оно фактически уже зашло (фиг. 26.7).

Фиг. 26.7. У горизонта Солнце кажется на¹/₂градуса выше, чем на самом деле.

Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медленнее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.