Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Отражение относительно горизонтальной оси: инверсия

Рассмотрим инверсию простой мелодии, отраженной горизонтально относительно оси, проходящей через линию ре:

Из следующего рисунка сразу же становится понятно, что при одновременном исполнении двух этих мелодий на пианино нужно нажимать клавиши, симметричные относительно клавиши ре:

Габриэль Форе в своем Messe basse: Agnus Dei в качестве основного приема использует отражение относительно горизонтальной оси. Две первые восьмые ноты начальных тактов отражаются, завершая такт:

В этом фрагменте из Струнного квартета соль минор, соч. 10 французского композитора Клода Дебюсси

(1862–1918) первая скрипка и виола в каждый момент времени исполняют противоположные ноты:

В припеве Samba de Uma Nota Só («Самбы одной ноты») бразильского композитора Антонио Карлоса Жобина (1927–1994) второй такт получается из первого поворотом на 180°:

Двадцать четыре каприса для скрипки, написанные итальянским скрипачом и композитором Никколо Паганини (1782–1840), вдохновили многих композиторов на создание различных вариаций, самыми известными из которых являются композиции Сергея Рахманинова (1873–1943). В частности, Рахманинов написал мелодию, симметричную капрису № 24:

В некоторых случаях, как, например, в шестой из «Шести мелодий в унисон» из цикла фортепианных пьес «Микрокосмос» Белы Бартока

(1881–1943) наблюдается симметрия звуков по высоте, но не по длительности. Ось симметрии проходит через первую ноту (до) второго нотоносца, выделенную пунктирной линией.

В последнем примере партитура для каждой руки симметрична относительно начальной ноты си-бемоль:

Повороты

Напомним, что поворот на 180° эквивалентен ракоходной инверсии. Применительно к музыке имеет смысл рассматривать только поворот на 180°, так как поворот на 90° не будет иметь смысла, что показано на следующем рисунке:

Точно так же, как и в геометрии, поворот на 180° можно представить как двойную инверсию: по горизонтали и по вертикали:

ГенийВольфганга Амадея Моцарта (1756–1791) проявился особенно ярко в не самом известном его произведении. Это канон для двух скрипок, состоящий из двух мелодий, повернутых друг относительно друга на 180°. Если мы представим поворот как двойное отражение, то увидим, что Моцарт неспроста расположил горизонтальную ось симметрии на линии си: благодаря этому композицию можно записать на одном нотном стане и на одной мелодической линии. При исполнении этого произведения музыканты становятся лицом друг к другу, расположив партитуру между собой. Оба смогут прочитать партитуру благодаря тому, что ключ соль расположен и в начале, и в конце нотного стана. Таким образом, при инверсии страницы нота соль становится нотой ре, ля — до и так далее. Единственной неизменной нотой остается си:

В «Зеркале» Моцарта

два скрипача могут читать одну и ту же партитуру в противоположных направлениях, находясь друг напротив друга.

Австрийский композитор Антон Веберн (1883–1945) — одна из ключевых фигур в додекафонической музыке — основном направлении академической музыки начала XX века. В своем Струнном квартете, соч. 28 Веберн определяет исходную серию звуков, на которой затем устанавливаются интервалы. В этом произведении можно увидеть основную мелодию, ее инверсию и ракоход. Кроме того, в центре расположена ось симметрии, отделяющая исходную фигуру от ее ракоходной инверсии.

Ряд из 12 звуков Струнного квартета, ор. 28 Антона Веберна. Числа обозначают число полутонов в каждом интервале. Стрелки указывают, восходящим или нисходящим является данный интервал.

Комбинации преобразований

Вышеперечисленные преобразования причудливым образом сочетаются во множестве музыкальных произведений разных эпох. Они образуют широкий спектр музыкальных средств, которые отличаются огромным разнообразием, так как может изменяться расположение оси симметрии при отражении, расстояние в интервалах при вертикальном переносе и смещение при горизонтальном переносе, например смещение голосов канона.

Изначальная идея канона — имитация одного голоса с помощью последующего голоса или голосов — была дополнена другими видами имитации, в которых оригинальными способами применялись симметрия и ракоходы.

Горизонтальный и вертикальный перенос: интервальные каноны