Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

ЗАКОН СНЕЛЛА

Если погрузить палочку в воду, то кажется, будто она сломана пополам и что угол наклона в воде и в воздухе отличается. Это оптическое явление, называемое преломлением, происходит из-за того, что скорость света меняется в зависимости от плотности среды, в которой он распространяется. Плотность воздуха меньше, чем воды, и скорость света в воздухе выше, чем в воде, так как в воздухе свет встречает меньше «препятствий» на своем пути.

Виллеброрд Снелл открыл формулу, известную как закон Снелла, которая связывает скорости света в двух средах и углы преломления:

sin θ₁/V₁ = sin θ₂/

V₂

Принцип Ферма дает математическое объяснение этому явлению. Согласно этому принципу, свет распространяется по траектории, для которой время движения минимально. Допустим, что, как показано на рисунке, птица хочет попасть из точки А (конец палочки, расположенный над водой) в точку В (конец палочки, погруженный в воду).

Предположим, что птица летит в воздухе со скоростью v₁ а под водой плывет со скоростью v₂. Ферма доказал, что кратчайшим путем из точки А в точку В

является не прямая, а линия, повторяющая изгиб палочки. Значит, птица должна следовать вдоль палочки, чтобы как можно скорее попасть в точку В.

Глава 4

Происхождение последней теоремы

Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Пьер де Ферма

В один прекрасный день в руки Ферма попала копия «Арифметики» Диофанта. Во время чтения его мысли витали среди прекрасных математических пейзажей, и в голову ему приходили очередные запутанные задачи, которые он впоследствии предложит математическому сообществу. Среди этих задач была его знаменитая последняя теорема. Из всех его задач доказательство этой теоремы заняло больше всего времени. Ферма записал теорему на полях страницы с задачей 8 из книги II, о чем мы подробнее поговорим чуть позже.

Корни этой загадки Ферма уходят в александрийскую эпоху. С одной стороны находились «Начала» Евклида, датируемые II веком до н. э., с другой стороны — уже упомянутая «Арифметика» Диофанта, написанная пять или шесть веков спустя. На этих двух книгах основывались практически все математические исследования в Средиземноморье и на Востоке на протяжении примерно полутора тысяч лет.

«Начала» Евклида

«Начала» Евклида включают три книги по арифметике (книги VII, VIII и IX). В них впервые упоминается общая теория делимости. Речь идет о наибольших общих делителях и алгоритме их вычисления. Этот алгоритм известен как алгоритм Евклида. Также приводится определение простых чисел и показывается, что их бесконечно много. Помимо этого, говорится о взаимно простых числах и совершенных числах, то есть числах, равных сумме всех своих делителей.

Совершенные числа

История совершенных чисел заслуживает отдельной главы. Поиски совершенных чисел в некотором смысле можно сравнить с поисками знаков π. Несколько из них были известны с самого начала, а остальные находились по мере развития математики. Не обходилось и без ошибок, но со временем их исправляли. Сегодня, в эпоху компьютеров, при всех знаниях, что нам известны, все совершенные числа до сих пор не найдены. Более того, неизвестно даже, является множество совершенных чисел конечным или бесконечным.

Обложка первого английского издания «Начал» Евклида, датируемого 1570 годом.

* * *