Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Изучив рукописи, которые сохранились до наших дней, Таннери предположил, что все они имеют один общий источник. По-видимому, этим общим источником является издание «Арифметики» с комментариями Гипатии Александрийской. Согласно этой же теории, данный труд включал именно те шесть книг, которые дошли до наших дней. Утерянными оказались те книги, которые не были прокомментированы Гипатией. Если это так, то именно усилиями Гипатии до нас дошла часть наследия Диофанта. Также весьма вероятно, что сама Гипатия существенно дополнила эти книги. В настоящее время исследователи продолжают работу, и окончательный ответ все еще не найден.

Обзор задач из «Арифметики» Диофанта

Один из экземпляров издания с комментариями Баше попал в руки Ферма. Тот прекрасно владел латынью и греческим и мог читать «Арифметику» на двух языках. Кроме того, это издание уже содержало комментарии, словом, служило идеальной отправной точкой для новых комментариев.

Задача 32 из книги II

Эта задача формулируется так:

«Найти три числа, таких что квадрат любого из них, сложенный со следующим числом, дает квадрат».

Можно использовать любые способы решения. Возможно, если нам повезет, мы сможем найти верный ответ. Можно начать, например, с того, что выбрать в качестве первого числа 1. Теперь, по условию, его нужно возвести в квадрат и прибавить к нему следующее из трех чисел, при этом результат должен также являться квадратом. Например, 1² + 3 = 4 = 2². Итак, мы выбрали 1 и 3. Теперь возведем 3 в квадрат и прибавим к нему некое число так, чтобы результат тоже был квадратом. Например, З² + 7 = 16 = 4². Имеем 1, 3 и 7. Теперь осталось совершить последний шаг цикла и подтвердить, что 7 в квадрате, сложенное с 1, также дает квадрат: 7² + 1 = 50. Увы, но 50 не является квадратом. Следовательно, нужно начинать все сначала и попробовать другие числа. Эта задача подобна головоломке: нужно правильно расставить все элементы по своим местам. Ферма проводил многие часы за решением подобных задач. Они бросали вызов его воображению, и такой же вызов позднее бросил современникам он сам.

Решение задачи 32

Диофанту было известно решение этой задачи, и непохоже, что он нашел его случайно. Скорее всего, ему был известен некий загадочный метод решения. Решение, предложенное Диофантом, таково:

«Обозначим первое число за х, второе примем равным 2х + 1, третье — 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, так что два условия задачи выполняются. Последнее условие формулируется так: (4х + 3)² + х = квадрат = (4х — 4)². Следовательно, х = 1/51, а тройка искомых чисел такова: 7/57, 71/57, 199/57».

Как получилось, что подобные выкладки приводят к верному ответу? Нет никаких сомнений, что Диофант был выдающимся математиком. Он обозначил первое число за х. Второе число он мог выбрать любым способом, но обозначил его за 2х + 1, потому что знал, что х² + 2х

+ 1 = (х + 1)², следовательно, выполнялось первое условие. Третье число он также мог выбрать произвольным образом, но выбрал 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, поскольку он знал, что (2х + 1)² + 2(2х + 1) + 1 = (2х + 2)², следовательно, выполнялось и второе условие. Остается лишь третье условие, а именно: (4х + 3)² + х = квадрат. Здесь снова проявляется гений Диофанта: он понял, что этот квадрат может быть представлен в виде (4х — 4)², и в этом случае для решения задачи достаточно найти корни очень простого уравнения.

(4х + 3)

² + х = (4х — 4)².

Раскрыв скобки, получим:

16х² + 24х + 9 + x = 16х² — 32х + 16.

Сократив 16х², имеем:

24х + 9 + х

= —32х + 16.

Перенесем все члены с х в одну часть и получим:

24х + х + 32х = 16 — 9 —> 57х = 7 —> х = 7/37.

Мы нашли первое из искомых чисел. Теперь нетрудно найти второе число, равное 2х + 1 = 71/57, и третье, равное 4х + 3 = 199/57. Наконец, легко показать, что

(7/57)² + 71/57 = 4096/3249 = (64/57)² (первое условие);

(71/57)²  + 199/57 = 16384/3249 = (128/57)² (второе условие);

(199/57)² + 7/57 = 40000/3249 = (200/57)² (третье условие).

Особенности задачи