Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Примерно в 1922 году нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел эту табличку у Эдгара Джеймса Бэнкса, торговца археологическими находками. Табличка находилась в неплохом состоянии, но справа посередине виднелась крупная трещина, а символы в верхнем левом углу было нельзя прочитать. И, что было еще интереснее, все указывало на то, что исходная табличка имела больший размер, поскольку левый край был неправильной формы, как будто обломан. Быть может, табличку повредили при раскопках? До нас дошла глиняная табличка размерами 13 x 9 x 2 см. Согласно Бэнксу, табличка была найдена в городе Сенкере (современное название Ларсы). Позднее исследователи сравнили стиль написания символов на этой и других табличках того времени и подтвердили, что Бэнкс не ошибся. Табличка датируется 1822–1784 годами до н. э. Иными словами, она была написана за несколько лет до захвата Ларсы войсками Хаммурапи в 1762 году до н. э. Плимптон умер в 1936 году и завещал эту табличку вместе со всей своей коллекцией Колумбийскому университету, где она хранится и поныне под номером 322. С тех пор эта табличка известна под названием Плимптон 322.

Табличка Плимптон 322.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления

В чем же загадка этой таблички? На ней в четыре столбца нанесены числа, записанные в системе счисления, которая отличается от нашей и имеет основание 60. Считается, что эта система, называемая шестидесятеричной, появилась в культуре шумеров в третьем тысячелетии до нашей эры и позднее была заимствована вавилонянами. Мы используем ее и сейчас при измерении времени, углов и географических координат. Десятичная и шестидесятеричная системы уживаются рядом: час делится на 60 минут, минута — на 60 секунд, но секунды делятся на десятые, сотые и тысячные доли уже в десятичной системе счисления. Несмотря на свое удобство, десятичная система не смогла полностью заменить шестидесятеричную, которую придумали наши предки шумеры. Окружность по-прежнему делится на 360 градусов, как и тысячи лет назад. Звездные часы послужили моделью для наручных часов, и даже современные цифровые часы по-прежнему имитируют движение стрелки по окружности, разделенной на 60 частей. Десятичная система используется уже много лет и даже веков, но сутки по-прежнему делятся на 24 часа.

Почему же шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления? Число 60 не перестает удивлять нас своими замечательными свойствами. Одно из самых заметных его свойств — это большое количество делителей. Оно без остатка делится на двенадцать чисел: 1, 2, 3, 4, 3, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Ни одно из чисел, меньших 60, не имеет столько делителей. Это свойство особенно удобно при работе с дробями, так как вычисления заметно упрощаются. В то время не существовало вычислительных машин, и все, что могло упростить вычисления, было как нельзя кстати.

Многие математики считают, что удивительных свойств числа 60 достаточно, чтобы понять, почему же древние шумеры использовали шести десятеричную систему счисления.

Число 60 также тесно связано с простыми числами. Начнем с того, что оно находится между двумя простыми числами-близнецами (59 и 61) и является суммой двух простых чисел-близнецов (29 + 31). Его также можно представить в виде суммы четырех последовательных простых чисел (11 + 13 + 17 + 19).

Возможно, удивительнее всего то, что 60 — наименьшее число, которое можно получить в виде суммы двух простых чисел шестью разными способами. Это показано в таблице ниже.

Уже в IV веке Теон Александрийский предположил, что число 60 было выбрано как основание системы счисления потому, что это наименьшее число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Развивая эту мысль, математик Дж. Г. ван дер Галиен показал, что если n

— целое положительное число, делители которого, меньшие √n, являются последовательными числами, то n либо простое, либо удвоенное простое число, либо одно из чисел 1, 8, 12, 24, 60. Значит, 60 — наибольшее составное число, первые делители которого, не превышающие √n, являются последовательными.

* * *

СВЕРХСОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Натуральные числа, имеющие больше делителей, чем любое предшествующее им натуральное число, называются сверхсоставными. Найти первые сверхсоставные числа очень просто, что показано в таблице. Однако до сих пор не найдена формула, позволяющая найти все подобные числа.

* * *

От десятичной системы мер к шестидесятеричной системе счисления