Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Пусть второй магнит находится в положении устойчивого равновесия относительно своего направления, тогда действующая на него пара сил исчезает, и поэтому его ось должна располагаться в одной плоскости с осью первого магнита. Следовательно,

h

₁

h

₂

=

(h

₁

r)

+

(h

₂

r)

,

(16)

и момент пары сил, равный

m₁m₂

r³

(

sin(h

₁

h

₂

)

-

3cos(h

₁

r)

sin(rh

₂

)

),

(17)

обращается в нуль, как мы видим, при условии

tg(h

₁

r)

=

2tg(rh

₂

)

,

(18)

или

tg H

₁

m

₂

R

=

2tg Rm

₂

H

₁

.

(19)

Когда второй магнит занимает это положение, значение W становится равным m₂(dV₁/dh₂), где h₂ - направление силовой линии в точке m₂, определяемое действием магнита m₁. Следовательно,

W

=

-m

₂

dV₁

dx

^2

+

dV₁

dy

^2

+

dV₁

dz

^2

1/2

,

(20)

т.е. второй магнит будет стремиться двигаться туда, где результирующая сила больше.

Сила, действующая на второй магнит, может быть разложена на силу R, которая в этом случае всегда является силой притяжения к первому магниту, и силу H₁, параллельную оси первого магнита:

R

=

3

m

₁

m

₂

4

₁

^2+1

, H

=

3

m

₁

m

₂

₁

.

r

⁴

3

₁

^2+1

r

⁴

3

₁

^2+1

(21)

На рис. XIV в конце этого тома нарисованы силовые линии и эквипотенциальные поверхности в двумерном случае. Предполагается, что они создаются магнитами в виде двух длинных цилиндрических поперечно намагниченных стержней, сечения которых показаны полыми кружками, а направление намагниченности - стрелками.

Если вспомнить о наличии натяжения вдоль силовых линий, то легко понять, что каждый из магнитов будет стремиться повернуться в направлении движения часовой стрелки.

Кроме того, в целом правый магнит будет стремиться смещаться вверх по странице, а левый магнит - вниз.

О потенциальной энергии магнита, помещённого в магнитное поле

389. Пусть V - магнитный потенциал, создаваемый любой системой магнитов, действующих на данный рассматриваемый магнит. Будем называть его потенциалом внешней магнитной силы.

Если маленький магнит длиной ds расположен так, что его положительный полюс величины m находится в точке с потенциалом V, а отрицательный - в точке с потенциалом V', то потенциальная энергия этого магнита будет равна m(V-V') или, если соизмеряется от отрицательного полюса к положительному,

m

dV

ds

ds

.

(1)

Если I - величина намагниченности, , , - её направляющие косинусы, то можно написать

m

ds

=

I

dx

dy

dz

и

dV

ds

=

dV

dx

+

dV

dy

+

dV

dz

,

и, наконец, если A, B, C - составляющие намагниченности, то A=I, B=I, C=I, так что выражение (1) для потенциальной энергии элемента магнита станет таким:

A

dV

dx

+

B

dV

dy

+

C

dV

dz

dx

dy

dz

.

(2)

Чтобы получить потенциальную энергию магнита конечных размеров, необходимо проинтегрировать это выражение по всем элементам магнита. Таким образом получим

W

=

A

dV

dx

+

B

dV

dy

+

C

dV

dz

dx

dy

dz

.

(3)

Это и есть потенциальная энергия магнита относительно магнитного поля, в которое он помещён.

Она выражена здесь через составляющие намагниченности и магнитной силы, возникающей от внешних источников.

Интегрируя по частям, мы можем выразить её через распределение магнитной материи и магнитного потенциала:

W

=

(

Al

+

Bm

+

Cn

)

V

dS

-

(4)

-

V

dA

dx

+

dB

dy

+

dC

dz

dx

dy

dz

,

где l, m, n - направляющие косинусы нормали к элементу поверхности dS. Подстановка в это уравнение выражений для поверхностной и объёмной плотностей магнитной материи, приведённых в п. 385, даёт

W

=

V

dS

+

V

dx

dy

dz

.

(5)

Уравнение (3) можно переписать в виде

W

=

-

(

A

+

B

+

C

)

dx

dy

dz

,

(6)

где , , и - составляющие внешней магнитной силы.

О магнитном моменте и оси магнита

390. Если во всём пространстве, занятом магнитом, внешняя магнитная сила однородна и по направлению, и по величине, то составляющие , , постоянны. Записав

A

dx

dy

dz

=

lK

,

B

dx

dy

dz

=

mK

,

C

dx

dy

dz

=

nK

(7)

и распространив интегрирование на всё вещество магнита, величину W можно представить в виде

W

=

-K

(

l

+

m

+

n

).

(8)

В этом выражении l, m, n - направляющие косинусы оси магнита, K - его магнитный момент. Если обозначить через угол между осью магнита и направлением магнитной силы H то величину W можно переписать так:

W

=

-K

H

cos

.

(9)

Если магнит подвешен таким образом, что он может свободно вращаться, как обычная компасная стрелка, вокруг своей вертикальной оси, то, предположив, что он имеет азимут и наклонён на угол относительно горизонтальной плоскости, а направление силы земного магнетизма имеет азимут и наклонение , получим

=

Hcos cos ,

=

Hcos sin ,

=

H sin ;

(10)

l

=

cos cos ,

m

=

cos sin ,

m

=

sin ;

(11)

Откуда следует

W

=

-K

{

cos

cos

cos (-)

+

sin

sin

}.

(12)

Момент силы, стремящейся повернуть магнит вокруг вертикальной оси и увеличить угол , равен

-

dW

d

=

-KH

cos

cos

sin (-)

.

(13)

О разложении потенциала магнита по пространственным гармоникам

391. Пусть V - потенциал, создаваемый единичным полюсом, помещённым в точку (,,), его значение в точке x, y, z равно

V

=

{

(-x)^2

+

(-y)^2

+

(-z)^2

}

^{- 1/2}

 

.

(1)

Это выражение можно разложить по сферическим гармоникам с центром в начале координат. Будем иметь тогда

V

=

V

₀

+

V

₁

+

V

₂

+ и т.д.

(2)

где

V

₀

=(1/r)

,

(3)

r - расстояние до точки (,,) от начала координат,

V

₁

=

x+y+z

r^3

,

(4)

V

₂

=

3(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)(^2+^2+^2)

2r⁵

,

(5)

и т.д.