Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Таким образом, в выражении (С) нет излишеств, но приведено одновременно два выражения для силы, действующей на токи или на магнитные заряды в зависимости от предпочитаемого описания фактических источников магнитного поля. Однако, строго говоря, при зарядовом описании в уравнение (С) должен быть введён ещё один член, связанный с появлением магнитных токов. Действительно, по смыслу введения магнитных зарядов в уравнения поля как источников этого поля (фиктивных или реальных) они должны удовлетворять закону сохранения, и, значит, любое изменение во времени плотности ^m сопровождается подтеканием или оттеканием магнитного тока (фиктивного или реального) с плотностью j^m:

div

j

^m

=-

^m

t

.

(10)

Уравнение непрерывности (10) двойственно (j^e->j^m, ^e->^m) уравнению непрерывности (7). И потому последовательный учёт принципа двойственности в задаче о механическом действии электромагнитного поля на источники (строго говоря, конечно, на «носители источников») должен в общем случае дополнить (С) членом

1

c

j

^m

x

D

.

И, наконец, последнее замечание, также относящееся к выражению (С). В той части силы, которая определяет воздействие поля на токи (строго говоря, конечно, на носители токов), Максвелл оперирует не с током проводимости, а с истинным током, дополнительно содержащим ещё и ток смещения. Это отличает соотношение (С) от используемого нами теперь. Разница обусловлена несколько иным определением понятия силы (во-первых) и отсутствием ещё одного члена, двойственного члену с электрическим током смещения (во-вторых). Поскольку вопрос представляет не только исторический интерес, остановимся на нём подробнее. Без ущемления сути дела в целях сокращения формул положим сразу =1, =1, т.е. будем рассматривать силы, действующие на заряды и токи в вакууме.

Закон сохранения импульса в этом случае принимает вид

div T

-

g

t

=

f

_мех

,

(11)

где

f

_мех

=

^e

E

+

1

c

j

^e

_пр

x

H

,

g

=

1

4c

E

x

H

,

T

->

T

=

1

4

(E

E

+H

H

)

-

1

8

(E^2+H^2)

.

Здесь g - плотность электромагнитного импульса, T - тензор напряжения, дающий поток импульса (втекающий, а не вытекающий, внутрь объёма, где находятся источники - отсюда и различие в знаках по сравнению с обычной записью законов сохранения). Соотношение (11) может быть переписано в несколько ином виде, если ввести понятие «обобщённой» силы, включающей в себя наряду с обычной механической (по нашей терминологии - лоренцовой) силой ещё и изменение электромагнитного импульса

div T

=

f

=

f

_мех

+

g

t

=

=

^e

E

1

c

j

^e

_пр

x

H

+

1

c

j

^e

_см

x

H

+

1

4c

E

x

H

t

.

(12)

Сравнивая выражение для f в (12) с максвелловской формулой (С) (где для однозначности подхода нужно сразу же положить ^m), нетрудно обнаружить, что они отличаются только наличием дополнительного члена в (12)

1

4c

E

x

H

t

=-

1

c

j

^m

_см

x

E

,

(13)

которому может быть придан вид, сходный с лоренцовым, если ввести условно «магнитный ток смещения»:

j

^m

_см

=

1

4

H

t

.

Следовательно, формулы (11) или (12) допускают такую дуально симметричную запись:

div T

=

f

=

^e

E

+

^m

H

+

1

c

j

^m

_пол

x

H

-

1

c

j

^e

_пол

x

E

.

Причина отсутствия у Максвелла добавочного члена (13) отчасти раскрывается в п. 641-643, где он выводит выражение для механической силы, дифференцируя тензор напряжений (его магнитную часть), и проводит соответствующие обобщения на переменные во времени процессы. Воспроизведём это вычисление в наших обозначениях. Если в магнитостатике задан тензор

T

m

=

1

4

H

H

-

1

4

H^2

,

то его дивергенция равна

T

m

  x

=

1

4

x

H

H

-

1

8

x

H^2

=

1

4

H

H

x

+

1

4

H

H

x

-

1

8

H^2

=

=

1

4

(H)

H

+

1

4

H

div H

-

1

8

H^2

.

(14)

Здесь по дважды встречающимся индексам проводится суммирование

,

3

=1

.

Приняв во внимание тождество

H^2

=

2(H)H

+

2H

x

rot H

,

можно соотношению (14) придать окончательный (для случая магнитостатики) вид:

div T

^m

=-

1

4

H

x

rot H

+

1

4

H div H

=

1

c

j

^e

_пр

x

H

.

(15)

Именно эта формула и приводится Максвеллом в п. 642-644. Обобщение состоит в замене j^e_пр->j^e_пр+j^e_см. Таким образом, уравнение (22) п. 644 подтверждает итоговое уравнение (С).

Однако в переменных полях соотношение (15) следует сложить с двойственным ему соотношением для электрической части тензора напряжений

div T

^e

=

1

4

E div E

-

1

4

Ex rot E

=

^e

E

+

1

4c

Ex

H

t

(16)

и в результате взамен максвелловской формулы (С) получить выражение (12).

Конечно, с помощью современного оперативного формализма, следуя Хевисайду, восстановление дуальной симметрии в выражении для силы (15) и (16) выглядит почти как очевидное. Но следует напомнить, что в «Трактате» вопрос о симметрии не обсуждался в столь общей постановке и, более того, его выяснение было отчасти затруднено отсутствием выписанного в явном виде уравнения (2). Вполне возможно, что это было причиной ненаписания последнего члена в (12) и (16).

Заметим в конце, что мы ограничились здесь комментированием только основных уравнений в их «итоговом» приведении (А)-. Однако в тексте «Трактата» имеется несколько важных разбросанных замечаний, позволивших впоследствии обобщить эти уравнения на случай движущихся сред при наличии конвективных токов и т.д.

6. Незавершённость