Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

направленной вертикально вниз

Z=H tg ,

(1)

где H обозначает горизонтальную силу, - склонение, - наклонение.

Если через V обозначить магнитный потенциал на поверхности Земли, рассматривая её как сферу с радиусом a, то

V

=-

1

a

dV

dl

,

W

=-

1

acos l

dV

d

,

X

=

dV

dr

,

(2)

где l - широта, - долгота, r - расстояние от центра Земли.

Знание распределения V по земной поверхности может быть получено из наблюдений одной лишь горизонтальной силы следующим способом.

Обозначим через V₀ значение V в истинном северном полюсе Земли и затем возьмём линейный интеграл от X вдоль какого-нибудь меридиана; тогда для потенциала на этом меридиане на широте I найдём

V

=-

a

l

1/2

X

dl

+

V

₀

.

(3)

Таким образом, потенциал в любой точке земной поверхности может быть найден при условии, что мы знаем в каждой точке величину северной компоненты силы X и величину потенциала на полюсе V₀.

Так как силы зависят от производных потенциала V, а не от его абсолютной величины, то нет необходимости фиксировать какое-либо частное значение V₀.

Величина V в произвольной точке может быть установлена, если известны значения X вдоль произвольно заданного меридиана, а также значения Y на всей поверхности. Пусть интеграл

V

_l

=-

a

l

1/2

X

dl

+

V

₀

(4)

берётся вдоль заданного меридиана от полюса до параллели l тогда

V

=

V

_l

-

a

₀

Y

cos l

d

,

(5)

где интегрирование производится вдоль параллели l от заданного меридиана ₀ до требуемой точки.

Эти методы предполагают, что составлена полная магнитная обзорная карта (magnetic survey) земной поверхности, так что величины X или Y или обе из них известны во всех точках поверхности на данном отрезке времени. Что мы действительно знаем, так это лишь магнитные компоненты в местах расположения определённого числа станций. В цивилизованных частях света эти станции сравнительно многочисленны; но в других местах существуют протяжённые участки земной поверхности, относительно которых у нас нет никаких сведений.

Магнитная обзорная карта

466. Предположим, что в какой-то стране умеренной протяжённости, наибольший размер которой составляет несколько сот миль, имеется значительное количество удачно размещённых станций, где проводятся наблюдения за горизонтальной силой и склонением.

В пределах этого района можно считать, что потенциал V с достаточной точностью представляется следующей формулой:

V

=

const

-a

A

₁

l

+

A

₂

+

1/2 B

₁

l^2

+

B

₂

l

+

1/2 B

₃

l^2

+…

,

(6)

откуда следует

X

=

A

₁

+

B

₁

l

+

B

₂

,

(7)

Y cos l

=

A

₂

+

B

₂

l

+

B

₃

.

(8)

Пусть имеется n станций с широтами l₁, l₂, … и долготами ₁, ₂, …, и пусть для каждой из этих станций найдены значения X и Y. Введём l₀ и ₀, которые могут быть названы широтой и долготой центральной станции:

l

₀

=

1

n

(l)

,

₀

=

1

n

.

(9)

Определим значения X и Y на этой воображаемой центральной станции так:

X

₀

=

1

n

(X)

,

Y

₀

cos l

₀

=

1

n

(Y cos l)

.

(10)

Тогда

X

=

X

₀

+

B

₁

(l-l

₀

)

+

B

₂

(-

₀

)

,

(11)

Y

cos l

=

X

₀

cos l

₀

+

B

₂

(l-l

₀

)

+

B

₃

(-

₀

)

.

(12)

Мы имеем n уравнений вида (11) и n уравнений вида (12). Обозначим вероятную ошибку в определении X через , а в определении Y cos l - через ; тогда мы можем вычислить и , исходя из предположения, что они обусловлены ошибками наблюдений H и .

Пусть вероятная ошибка наблюдений H равна h, а ошибка наблюдений равна , тогда в силу

dX

=

cos ·dH

-

H sin ·d

будем иметь

^2

=

h^2cos^2

+

^2H^2sin^2

.

Аналогично

^2

=

h^2sin^2

+

^2H^2cos^2

.

Если отклонения X и Y от значений, даваемых уравнениями вида (11) и (12), значительно превышают вероятные ошибки наблюдений, можно сделать вывод о том, что они обусловлены какими-то местными притяжениями; при этом у нас нет никаких причин полагать отношение и равным какой-либо величине, отличной от единицы.

Согласно методу наименьших квадратов, умножим уравнения вида (11) на , а уравнения вида (12) - на , тем самым сделав их вероятные ошибки одинаковыми. Затем умножим каждое из уравнений на коэффициент перед одной из неизвестных величин B₁, B₂, или B₃; сложив результаты, получим три уравнения для отыскания величин B₁, B₂, B₃:

P

₁

=

B

₁

b

₁

+

B

₂

b

₂

,

^2P

₂

+

^2

Q

₁

=

B

₁

^2b

₂

+

B

₂

(^2b

₁

+^2b

₃

)

+

B

₃

^2b

₂

,

Q

₂

=

B

₂

b

₂

+

B

₃

b

₃

;

Здесь для краткости обозначено

b

₁

=

(l^2)

-

nl

₀

^2

,

b

₂

=

(l)

-

nl

₀

₀

,

b

₃

=

(^2)

-

n

₀

^2

,

P

₁

=

(lX)

-

nl

₀

X

₀

,

Q

₁

(lYcos l)

-

nl

₀

Y

₀

cos l

₀

,

P

₂

=

(X)

-

n

₀

X

₀

,

Q

₂

(Ycos l)

-

n

₀

Y

₀

cos l

₀

.

Вычисляя B₁, B₂, и B₃ и подставляя их в уравнения (11) и (12), мы можем найти значения X и Y в любой точке обзорной карты в пределах, свободных от местных возмущений, обнаруживаемых там, где вблизи станций имеются магнитные породы, каковыми является большинство скал вулканического происхождения.

Обзорные карты подобного рода могут быть составлены лишь для тех стран, где имеется много станций, куда удаётся доставить и где можно установить магнитные инструменты. Для других частей Земли приходится довольствоваться отысканием распределения магнитных элементов путём их интерполяции между значениями, известными лишь в местах расположения небольшого числа станций, разнесённых друг от друга на большие расстояния.