Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Арон-Меир Хаимович Бурштейн , Джеймс Клерк Максвелл

301. Если мы запишем составляющие электродвижущей силы в виде производных от потенциала 𝑉, уравнение непрерывности

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑧

(15)

в однородной среде примет форму

𝑟

₁

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑟

₂

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑟

₃

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

2𝑠

₁

𝑑²𝑉

𝑑𝑦𝑑𝑧

2𝑠

₂

𝑑²𝑉

𝑑𝑧𝑑𝑥

2𝑠

₃

𝑑²𝑉

𝑑𝑥𝑑𝑦

(16)

Если среда не является однородной, в уравнение войдут члены, обусловленные изменением коэффициентов проводимости при переходе от одной точки к другой.

Это уравнение соответствует уравнению Лапласа в анизотропной среде.

302. Если положить

[𝑟𝑠]

𝑟

₁

𝑟

₂

𝑟

₃

2𝑠

₁

𝑠

₂

𝑠

₃

𝑟

₁

𝑠

₁

𝑟

₂

𝑠

₂

𝑟

₃

𝑠

₃

(17)

[𝐴𝐵]

𝐴

₁

𝐴

₂

𝐴

₃

2𝐵

₁

𝐵

₂

𝐵

₃

𝐴

₁

𝐵

₁

𝐴

₂

𝐵

₂

𝐴

₃

𝐵

₃

(18)

где

[𝑟𝑠]

𝐴

₁

𝑟

₂

𝑟

₃

-𝑠

₁

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

[𝑟𝑠]

𝐵

₁

𝑠

₂

𝑠

₃

-𝑟

₁

𝑠

₁

…

(19)

и т.д., то система 𝐴,𝐵 будет обратна системе 𝑟,𝑠, и, если обозначим

𝐴

₁

𝑥²

𝐴

₂

𝑦²

𝐴

₃

𝑧²

2𝐵

₁

𝑦𝑧

2𝐵

₂

𝑧𝑥

2𝐵

₃

𝑥𝑦

[𝐴𝐵]

ρ²

(20)

мы найдём, что выражение

𝑉

𝐶

4π

⋅

(21)

является решением этого уравнения.

В случае, когда коэффициенты 𝑇 равны нулю, коэффициенты 𝐴 и 𝐵 совпадают с коэффициентами 𝑅 и 𝑆 из п. 299. При наличии 𝑇 этого не происходит.

Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещённого в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых ρ имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.

Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм 𝑠 и 𝐵 обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы 𝐴 будет обратен соответствующему коэффициенту формы 𝑟. Выражение для ρ будет

𝑥²

𝑟₁

𝑦²

𝑟₂

𝑧²

𝑟₃

ρ²

𝑟₁𝑟₂𝑟₃

(22)

303. Теория полной системы уравнений сопротивления и проводимости есть теория линейных функций от трёх переменных, которая применяется, например, в теории Упругости и в других областях физики ². Наиболее подходящим методом рассмотрения является тот, с помощью которого Гамильтон и Тэт рассматривают линейную и векторную-функцию вектора. Мы, однако, не будем вводить явно Кватернионные обозначения.

² Cм. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 154.

Коэффициенты 𝑇₁, 𝑇₂

, 𝑇₃ могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора 𝑇, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчёта. То же самое верно и для величин 𝑡₁, 𝑡₂, 𝑡₃, которые являются составляющими другого вектора 𝑡.

Векторы 𝑇 и 𝑡 вообще говоря, не совпадают по направлению.

Выберем теперь ось 𝑧 так, чтобы она совпадала с вектором 𝑇, и в соответствии с этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму

𝑋

𝑅

₁

𝑢

𝑆

₃

𝑣

𝑆

₂

𝑤

𝑇𝑣

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑌

𝑆

₃

𝑢

𝑅

₂

𝑣

𝑆

₁

𝑤

𝑇𝑣

𝑍

𝑆

₂

𝑢

𝑆

₁

𝑣

𝑅

₃

𝑤

(23)

Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряжённость как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов 𝑅 и 𝑆, а вторая - только от 𝑇. Часть, зависящая от 𝑅 и 𝑆, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведённым в точку касания. Другая часть, зависящая от 𝑇, равна по величине произведению 𝑇 на слагающую тока, перпендикулярную к оси 𝑇, и направлена перпендикулярно к 𝑇 и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если её повернуть на 90° в положительном направлении вокруг оси 𝑇.

Если мы рассматриваем ток и 𝑇 как векторы, то часть электродвижущей напряжённости, обусловленная 𝑇, есть векторная часть произведения 𝑇×ток.

Коэффициент 𝑇 может быть назван Вращательным коэффициентом. У нас есть основания полагать, что этот коэффициент не существует ни в одном из известных веществ. Если где-либо этот коэффициент и мог бы быть обнаружен, то в магнитах, имеющих поляризацию в одном направлении, вероятно, вызванную явлением вращения в этом веществе.

304. Предполагая теперь, что вращательный коэффициент отсутствует, мы покажем, как можно распространить теорему Томсона, изложенную в п. 100а-100д, чтобы доказать, что тепло, производимое токами в рассматриваемой системе за данное время, есть единственный минимум.

Для упрощения алгебраических расчётов выберем оси координат так, чтобы свести выражение (9), а следовательно, и выражение (10) к трём слагаемым. Рассмотрим теперь общее характеристическое уравнение (16), которое тогда сводится к виду

𝑟

₁

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑟

₂

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑟

₃

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²