Трактат об электричестве и магнетизме

Следовательно, линейный интеграл по замкнутой кривой, проходящей сквозь одну диафрагму в определённом заданном направлении, равен некоторой постоянной величине 𝐾 называемой Циклической константой данного цикла.

Пусть внутри этой области проведена произвольная замкнутая кривая, пересекающая диафрагму первого цикла 𝑝 раз в положительном направлении и 𝑝' раз в отрицательном направлении, причём 𝑝-𝑝'=𝑛₁. Тогда линейный интеграл вдоль этой замкнутой кривой будет равен 𝑛₁𝐾₁.

Аналогично линейный интеграл, взятый вдоль произвольной замкнутой кривой, будет равен

𝑛

₁

𝐾

₁

+

𝑛

₂

𝐾

₂

+…+

𝑛

_𝑠

𝐾

_𝑠

,

где 𝑛_𝑠 представляет собой превышение числа положительных прохождений кривой через диафрагму 𝑆-го цикла над числом отрицательных.

Если две кривые таковы, что одна из них может быть преобразована в другую путём её непрерывного изменения без прохождения в какой бы то ни было момент времени любой части пространства, в котором условия существования потенциала не выполнены, то эти две кривые называются совместимыми. Те кривые, для которых это преобразование не может быть произведено, называются несовместимыми ⁸.

⁸ См. сэр У. Томсон «О вихревом движении», Trans.R. S. Edin., 1867-8. (Sir W. Thom-on «On Vortex Motion»).

Условие, состоящее в том, что выражение 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 является полным дифференциалом некоторой функции Ψ во всех точках внутри определённой области, возникает в целом ряде физических задач, где направленная величина и потенциал имеют различные физические истолкования.

В чисто кинематических задачах мы можем положить величины 𝑋, 𝑌, 𝑍 составляющими смещения точки сплошного тела, начальные координаты которой равны 𝑥, 𝑦, 𝑧 тогда данное условие выражает тот факт, что эти смещения составляют невращательные деформации ⁹.

⁹ Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 190(I).

Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют собой составляющие скорости жидкости в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧, то данное условие означает, что движение жидкости невращательное.

Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют собой составляющие силы в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧, то это условие означает, что работа, совершаемая над частицей при прохождении её из одной точки в другую, равна разности потенциалов в этих точках и что значение этой разности одинаково для всех совместимых путей между этими двумя точками.

О поверхностных интегралах

21. Пусть 𝑑𝑆 есть элемент поверхности, а ε - угол между нормалью к поверхности, проведённой в направлении положительной стороны поверхности, и направлением векторной величины 𝑅 тогда величина ∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆 называется поверхностным интегралом от 𝑅 по поверхности 𝑆.

Теорема III. Поверхностный интеграл от потока (плотности потока), втекающего внутрь замкнутой поверхности, может быть выражен через объёмный интеграл от его конвергенции, взятый по области, расположенной внутри этой поверхности (см. п. 25).

Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 будут составляющие 𝑅, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности, отсчитываемой наружу. Тогда поверхностный интеграл от 𝑅 по 𝑆 равен

∬

𝑅 cos ε 𝑑𝑆

=

∬

𝑋𝑙𝑑𝑆

+

∬

𝑌𝑚𝑑𝑆

+

∬

𝑍𝑛𝑑𝑆

,

(1)

где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - это значения, взятые в точке на поверхности, а интегрирования распространены на всю поверхность.

Если поверхность замкнутая, то при заданных 𝑦 и 𝑧 координата 𝑥 должна иметь чётное количество значений, так как линия, параллельная 𝑥, должна входить в замкнутое пространство и выходить из него одинаковое число раз при условии, что она вообще пересекает поверхность.

При каждом входе 𝑙𝑑𝑆=-𝑑𝑦𝑑𝑧, а при каждом выходе 𝑙𝑑𝑆=𝑑𝑦𝑑𝑧.

Пусть некоторая точка, движущаяся из 𝑥=-∞ в 𝑥=+∞, первый раз входит в это пространство при 𝑥=𝑥₁ а затем покидает его при 𝑥=𝑥₂ и так далее; при этом значения 𝑋 в этих точках соответственно равны 𝑋₁, 𝑋₂, …; тогда

∬

𝑋𝑙𝑑𝑆

=-

∬

{

(𝑋

₁

-𝑋

₂

)

+

(𝑋

₃

-𝑋

₄

)

+…+

(𝑋

_2𝑛-1

-𝑋

_2𝑛

)

}

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(2)

Если 𝑋 является величиной непрерывной и не принимающей в интервале между 𝑥₁ и 𝑥₂ бесконечных значений, то

𝑋

₂

-𝑋

₁

=

𝑥₂

∫

𝑥₁

𝑑𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑥

,

(3)

где интегрирование производится от первого до второго пересечения, а именно в пределах первого отрезка 𝑥 находящегося внутри замкнутой поверхности. Учитывая все отрезки, лежащие в пределах замкнутой поверхности, находим

∬

𝑋𝑙𝑑𝑆

=

∭

𝑑𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(4)

Где двойное интегрирование ограничивается замкнутой поверхностью, а тройное интегрирование распространяется на всё охватываемое ею пространство. Следовательно, если 𝑋, 𝑌, 𝑍 непрерывны и конечны внутри замкнутой поверхности 𝑆, то полный поверхностный интеграл от 𝑅, взятый по этой поверхности, будет равен

∬

𝑅 cos ε 𝑑𝑆

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(5)

где тройное интегрирование распространено на всё пространство внутри 𝑆.