Цифровая стеганография

Однако реальные передаваемые по каналам связи сообщения, используемые в стегосистемах как пустые контейнеры, далеки от модели безизбыточных и равновероятных источников. Поэтому передача зашифрованных описанным способом сообщений на фоне сообщений естественных источников сразу же демаскирует канал скрытой связи. Для стеганографии характерен случай неравновероятного распределения переменной С, описывающей выход естественного источника с некоторой существенной памятью. Сообщения таких источников обычно используются в качестве контейнеров (изображения, речь и т. п.) и их энтропия H(S) обычно значительно меньше величины . Для встраивания скрываемых сообщений из таких контейнеров удаляется часть избыточности и в сжатые таким образом контейнеры вкладываются скрываемые сообщения. В результате этого вероятностные характеристики формируемых стегограмм отличаются от характеристик пустых контейнеров, приближаясь к характеристикам случайного независимого источника. В предельном случае дискретные стегограммы описываются бернуллиевским распределением. В этом случае вся избыточность контейнера удалена и встроенное сообщение порождено равновероятным случайным источником.

Рассмотрим следующий пример. Пусть в качестве контейнеров используются сообщения типа «деловая проза» на русском языке, для которых известна оценка энтропии H(C) = 0,83 бит/буква [11]. Величина для русского языка с алфавитом из 32 букв составляет log 32 = 5. Следовательно, в предельном случае относительная энтропия между обычными сообщениями с распределением Р_С и стегограммами с распределением Р_S равна

.

Очевидно, что в этом случае безизбыточные стего, выглядящие как случайный набор букв русского языка, сразу же выделяются на фоне избыточных контейнеров, представляющих собой осмысленные сообщения. Таким образом, факт использования такой стегосистемы легко обнаруживается при визуальном просмотре передаваемых от Алисы к Бобу сообщений. При использовании такой стегосистемы также легко автоматизировать процесс поиска следов скрытого канала. Для этого достаточно подсчитывать приблизительные оценки энтропии передаваемых сообщений. Так как энтропия стего примерно в 5 раз больше энтропии обычных сообщений, то достаточно просто выявить факты наличия скрытой связи.

В работе [3] доказывается, что произвольные детерминированные преобразования не увеличивают ОЭ между двумя распределениями.

Лемма 1: Пусть Р_Qc и Р_Qs описывают вероятностные распределения контейнеров и стего, соответственно, над множеством наблюдений Q

. Детерминированное отображение f преобразует множество наблюдений Q в множество наблюдений T вида

,

где q_c, q_s Q, t_c, t_s T. Тогда справедливо выражение

.

Так как различение между гипотезами H_C и H_S есть частная форма преобразования, вероятности ошибок α и β удовлетворяют неравенству

. (4.5)

Это соотношение может использоваться в следующем виде: пусть δ есть верхняя граница и задана верхняя граница вероятности α. Тогда выражение (4.5) дает нижнюю границу вероятности β. Например, при α

= 0 значение ошибки .

Используя эту лемму, в работе [3] доказывается следующая теорема.

Теорема 2: Если стегосистема является ε-стойкой против пассивного нарушителя, то вероятность β необнаружения факта скрытой связи и вероятность α ошибочного установления факта скрытой связи удовлетворяют неравенству . В частном случае, если α = 0, то .

Пусть Алисе разрешается передать Бобу цифровое изображение С. Используя модель чувствительности зрения, она может сформировать множество С эквивалентных изображений, которые визуально неразличимы от исходного С. Независимо от того, активна Алиса или нет, она передает выбранное изображение из множества С. Пусть Алиса и Боб заранее договорились, какой модификации изображения соответствует каждое из скрываемых сообщений. Формально это означает, что в стегосистеме каждому из изображений С_j, где j=1,2,…, |C

|, по секретному ключу ставится в соответствие или одно из скрываемых сообщений М_j, где j=1,2,…, N, и N < |C|, или отсутствие скрываемого сообщения для |C|—N случаев. Если данное соответствие построено равновероятно и независимо для множества контейнеров и скрываемых сообщений, то при неразличимости распределений контейнеров и стего нарушитель Ева, наблюдая за информационным обменом между Алисой и Бобом, потенциально не способна получить больше той информации, которой обладала априори. Так как по определению Еве известны статистические характеристики всех множеств, входящих в стегосистему, то она априори знает, что вероятность активного состояния Алисы равна N/|C|, а вероятность отсутствия передачи скрываемой информации равна (|C|—N)/|C|. Активное и пассивное состояния Алисы составляют полную группу событий, следовательно,

.