У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Верно ли, что "существует некоторое х, которое удовлетворяет свойству Р" недоказуемо? Поскольку в некоторых мирах это истинно, мы не можем точно утверждать, что это никогда не будет доказуемо. В доказательстве того, что не-G недоказуемо, имеется логический пробел, поскольку мы не можем утверждать, что это высказывание не окажется доказуемым. Чтобы справиться с этой проблемой, Гёдель ввел синтаксическое понятие омега-непротиворечивости. Множество аксиом омега-непротиворечиво, если притом что каждое из высказываний "1 не удовлетворяет свойству Р", "2 не удовлетворяет свойству Р", и так далее доказуемо, "существует некоторый х, который удовлетворяет свойству Р" недоказуемо (в какой-то степени это синтаксически вынуждает считать, что мы имеем в виду мир натуральных чисел). Следовательно, в начало синтаксического изложения первой теоремы Гёделя, где говорится, что множество аксиом непротиворечиво, следовало бы добавить "омега-непротиворечиво".

Вклад Россера

К счастью, в 1936 году американский логик Джон Б. Россер в статье объемом всего две страницы изменил рассуждение Гёделя так, чтобы оно было справедливо и при гипотезе непротиворечивости. Благодаря Россеру в изложении теоремы Гёделя можно опустить упоминание омега-непротиворечивости, и она может быть записана в том виде, в каком мы привели ее в тексте. Изменение, внесенное Россером в рассуждение Гёделя, состояло в том, чтобы заменить самореферетное высказывание "это высказывание недоказуемо" другим: "если это высказывание доказуемо, то также доказуемо и его отрицание".

Это означает, что не существует доказательства G; следовательно, ни одно число не является кодом доказательства G: число 1 — не код доказательства G, так же как 2,3 и так далее.

Получается, что высказывания

"1 — не код доказательства высказывания с кодом m",

"2 — не код доказательства высказывания с кодом m", "k — не под доказательства высказывания с кодом т" и так далее являются финитными истинными высказываниями. Раз они финитные и истинные, они доказуемы. Следовательно,

"существует у, являющееся кодом доказательства высказывания с кодом m" недоказуемо. Но это высказывание — не-G, следовательно, не-G не будет доказуемым; однако это противоречит предположению того, что не-G доказуемо. От противного получили, что не-G в итоге недоказуемо (см. схему).

Итак, синтаксически доказано, что как G, так и не-G, ни одно из двух, недоказуемо. Таким образом, доказательство первой теоремы о неполноте может быть полностью переведено в синтаксические аргументы и понятия, как этого требует программа Гильберта. Этот способ представления доказательства, основанный исключительно на синтаксических аргументах, проверяемых механически, спас от любых споров.

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА

В программе Гильберта требовалось, как мы уже сказали, найти непротиворечивое множество аксиом арифметики таким образом, чтобы каждое высказывание Р (либо его отрицание) было доказуемым. Но также требовалось, чтобы непротиворечивость этих аксиом проверялась алгоритмически, — это придавало уверенности, что аксиомы не приведут к парадоксу. В своей статье 1931 года Гёдель доказал вторую теорему, так называемую вторую теорему о неполноте. В ней доказывается, что эта цель также неосуществима.

Эта теорема часто формулируется следующим образом:

ни одно непротиворечивое множество аксиом не содержит арифметики, достаточной для того, чтобы доказать свою собственную непротиворечивость.