Удивительные числа Вселенной

Геделевское доказательство неполноты использует аналогичную идею, хотя оно гораздо строже. Ключом к методу Геделя был разработанный системный код — своеобразный способ математики ссылаться на саму себя. Каждая аксиома, каждое математическое утверждение, истинное или ложное, получили собственный кодовый номер. Вы можете представить, что с каждым утверждением связали определенное число — аналогично коду ASCII. Например, одно число соответствует утверждению «квадратный корень из двух — иррациональное число», а другое — утверждению «1 + 1 = 3». Тогда истинность или ложность любого математического утверждения можно связать со свойством соответствующего числа. Например, можно сказать, что четные числа соответствуют истинным утверждениям, а нечетные — ложным. Конечно, на деле все конструировалось намного сложнее, но дух был именно таким. Вооружившись строгой системой кодирования, Гедель рассмотрел следующее утверждение:

«Это утверждение нельзя вывести из аксиом».

Теперь выйдем за пределы системы и предположим, что математика свободна от противоречий. Это означает, что утверждение Геделя должно быть истинным или ложным. Оно не может быть одновременно истинным и ложным. Предположим, оно ложно. Это означает, что утверждение можно вывести из аксиом. Противоречие. Следовательно, это утверждение должно быть истинным. Итак, мы нашли математически верное утверждение, которое невозможно вывести из аксиом; мы открыли недоказуемую истину, то самое загадочное здание в нашем математическом мегаполисе.

Математика никогда не может оказаться полной.

Теорема Геделя прославила ученого. Она апеллировала к духовной идеологии, к идее, что математическая вселенная никогда не оказывается достаточной. Несмотря на успех, жизнь Геделя омрачалась депрессией, а со временем у него развился параноидальный страх отравления. Он ел только продукты, проверенные и приготовленные его женой Адель. Когда в 1977 году ученый заболел и попал в больницу, он отказался есть и в итоге умер от недоедания 14 января 1978 года.

Математикам хотелось найти более интересные примеры недоказуемой истины, чем надуманный пример Геделя. У них имелся корыстный интерес. Представьте, что вы пытаетесь доказать (или опровергнуть) какую-нибудь известную математическую теорему. Это может быть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха или одна из множества других нерешенных проблем математики. Если вы достаточно молоды, доказательство принесет вам Филдсовскую медаль[79], так что вы работаете на износ день и ночь. Если единственными недоказуемыми истинами становятся искусственные геделевские утверждения, ваш труд имеет шансы на успех. А что, если существуют более интересные недоказуемые истины? Что, если та теорема, над которой вы работаете, верна, но недоказуема в рамках нашей математической базы? Тогда у вас нет шансов. Вы обречены на неудачу.

В 1977 году британский математик Джефф Парис и его американский коллега Лео Харрингтон показали, что самые большие страхи математиков вполне реальны. Работая с урезанной версией математики, известной как арифметика Пеано, они смогли найти истинное утверждение из теории Рамсея, которое нельзя было доказать в рамках этой конкретной системы. Иными словами, арифметика Пеано позволяет придумать теорему, сформулировать ее в явном виде, но не дает возможности доказать ее. Для доказательства требуется выйти за пределы этой арифметики в какую-то более широкую математическую структуру с большим количеством аксиом. Недоказуемая истина Париса и Харрингтона стала предупреждением для математиков всего мира.

Харви Фридман тоже искал недоказуемые истины. Он стремился проанализировать теоремы математики и понять, для каких теорем нужны те или иные аксиомы. Представьте, что вы идете по городу и видите желтое здание. Вы спрашиваете себя: что мне действительно нужно, чтобы построить этот дом? Разумеется, вам понадобятся только желтые кирпичи. Желтые и красные были бы излишеством. Именно такую логику Фридман пытался применить к математике.