Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Поворот на 90° также проливает свет на то, что на самом деле означает i² = –1. Если мы умножим положительное число на i², то стрелка, равная длине положительного числа, повернется на 180° в направлении с востока на запад, так как производится два поворота на 90° (по одному для каждой степени i), в итоге — на 180°.

Но умножение на –1 делает такое же сальто на 180°. Вот поэтому i² = –1.

Компьютеры вдохнули новую жизнь в комплексные числа и вековую проблему извлечения корней. Когда ПК не используются нами для веб-серфинга или отправки и получения электронной почты, они на наших столах способны обнаружить такое, что древние и представить себе не могли.

В 1976 году мой коллега по Корнуолльскому университету Джон Хаббард попытался применить в задачах по динамике метод Ньютона[40], мощный алгоритм для поиска корней уравнений в комплексной плоскости. В соответствии с этим методом выбирается начальное значение (близкое к значению корня) и неоднократно производятся определенные вычисления. При этом на каждом последующем шаге используется значение, полученное на предыдущем. Этот метод позволяет быстро приблизиться к корням уравнения.

Хаббард заинтересовался множественными корнями. Какой из множественных корней можно найти методом Ньютона? Хаббард доказал, что из двух корней всегда будет найден тот, который наиболее близок к начальному значению. Однако при наличии трех и более корней его предыдущее доказательство не сработало.

Тогда Хаббард провел так называемый численный эксперимент

. Он запрограммировал компьютер на выполнение метода Ньютона, настроив устройство так, чтобы оно маркировало цветом миллионы различных начальных значений в соответствии с тем, к какому корню они приближались, и меняло интенсивность цвета в зависимости от скорости их приближения к корню.

До того как Хаббард увидел результат, он предполагал, что к корням уравнения быстрее всего притянутся наиболее близкие к ним по значению, и это отобразится в виде ярких точек на сплошном цветовом пятне. Но вот границы между пятнами? О них он даже не думал.

Компьютер выдал неожиданный результат.

Пограничная область между пятнами напоминала психоделические галлюцинации[41]. Цвета в ней смешивались беспорядочно, соприкасаясь друг с другом в невероятно большом количестве точек. Они всегда располагались в трех направлениях. Другими словами, где бы ни появлялись два цвета, между ними всегда присутствовал третий.

Расширение границ выявило наличие пятен внутри пятна.

Структура была фрактальной[42] — сложной формы, внутренняя структура которой повторялась во все более мелких масштабах.

Кроме того, вблизи границы царил хаос. Две точки могли вначале находиться очень близко друг к другу, какое-то время попрыгать рядышком, а потом разойтись к разным корням. Выбранный корень был так же непредсказуем, как выигрышные числа при игре в рулетку. Мелочи, крошечные, незаметные изменения в начальных условиях могли полностью изменить всю картину.

Работа Хаббарда была одной из первых вылазок в область науки, ныне называемой комплексная динамика, — потрясающее сочетание теории хаоса, комплексного анализа и фрактальной геометрии. В некотором смысле это позволило геометрии вернуться к своим корням. В 600 году до Рождества Христова руководство для строителей храма в Индии[43], написанное на санскрите, давало подробные инструкции, как при проектировании ритуальных алтарей вычислять квадратные корни. Спустя свыше 2500 лет математики все еще ищут корни, но в настоящее время инструкции пишутся в двоичном коде.

9. Ванна моя преисполнена[44]

Дядюшка Ирв был братом моего отца и его компаньоном. Они владели обувным магазином в нашем городе. Так вот, он хорошо разбирался в практической стороне вещей и по большей части находился наверху в своем кабинете, потому что лучше управлялся с цифрами, чем с клиентами.

Когда мне было лет десять или одиннадцать лет, дядя Ирв задал мне мою первую арифметическую задачу[45]. Этот день навсегда врезался мне в память, вероятно, потому, что я ошибся и чувствовал смущение.

В условии задачи говорилось о заполнении ванны водой[46]. Если включить кран с холодной водой, то ванна наполнится за полчаса, а если с горячей — то за час. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить ванну, когда включены оба крана?

Я уверенно, вероятно, как и многие из вас, ответил: «Сорок пять минут». Дядюшка Ирв покачал головой и усмехнулся. И своим высоким гнусавым голосом он преподал мне урок.

«Стивен, — обратился ко мне он, — скажи, сколько воды будет в ванне через минуту». Холодная вода заполняет ванну за 30 минут, так что за одну минуту она заполнит ее часть. Но горячая вода льется медленнее и наполнит ванну через 60 минут, то есть за минуту она заполнит только часть ванны. Поэтому, когда вода льется из обоих кранов, она заполняет + ванны за минуту.

Чтобы сложить эти дроби, обратите внимание, что наименьший общий знаменатель равен 60. Преобразовав в , получаем