Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

С математической точки зрения можно допустить, что изогнутая форма состоит из большого числа небольших прямоугольных отрезков. Это, конечно, не совсем так, но работает — при условии, что вы доведете их количество до предела, представив бесконечно много бесконечно малых частей. Это важнейшая идея всех вычислений.

Вот один из способов определить площадь круга. Начните с разбиения области на четыре равные части и переставьте их таким образом.

Странная форма с фестонами снизу имеет такую же площадь, как и круг, хотя это построение может показаться бесполезным, так как нам неизвестна площадь ее сегментов. Но по крайней мере мы знаем две важные вещи. Во-первых, две нижние дуги имеют общую длину, равную половине длины окружности исходного круга (потому что другая половина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей окружности в π раз больше диаметра, то ее половина в π раз больше половины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что πr — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры. Во-вторых, прямые стороны кусочков имеют длину r

, так как каждая из них первоначально была радиусом окружности.

Далее повторим все описанные действия, но на этот раз уже с восемью отрезками круга.

Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры стали более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину πr, а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из восьми частей круга.

По мере увеличения числа отрезков происходит нечто чудесное: фестоны все больше и больше разглаживаются, превращая фигуру в прямоугольник. Дуги становятся более плоскими, а стороны — почти вертикальными.

В пределе бесконечно большого числа частей фигура превратится в прямоугольник. Но, как и прежде, два факта все еще остаются неизменными: нижняя сторона прямоугольника равна πr, а высота — r.

Но теперь задача упростилась. Площадь прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту, то есть произведение πr и r

дает площадь прямоугольника, равную πr². А так как у преобразованной фигуры такая же площадь, как и у исходного круга, то полученное значение является также и площадью круга!

В таких расчетах приятно то, что бесконечность приходит на помощь. В каждом отдельном шаге фигуры с фестонами выглядели странными и бесперспективными. Но когда вы доходите до ее предела, она становится простой и красивой, и все проясняется. Вот так работает исчисление бесконечно малых в своем лучшем проявлении.

Архимед использовал подобную стратегию, чтобы приблизиться к π. Он заменил круг на многогранник с прямыми сторонами, а затем удваивал их число, чтобы приблизиться к идеальной округлости. Но вместо того чтобы согласиться на приближение неопределенной точности, он методично ограничивал π, поместив круг между вписанными и описанными многоугольниками, как показано ниже, на 6-, 12- и 24-сторонних фигурах.

Затем с помощью теоремы Пифагора он выразил периметры этих внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестигранника и далее для многоугольников с 12, 24, 48 сторонами, и в конечном итоге для 96-стороннего многоугольника. Формула для него позволила доказать, что

В десятичной системе счисления (которой у Архимеда не было) это означает, что π находится между 3,1408 и 3,1429.

Этот метод известен как метод исчерпывания59, быть может, потому что неизвестные значения числа π загоняются между двумя известными числами, сжимающими его с двух сторон. Границы сужаются с каждым удвоением, тем самым исчерпывая возможности для маневра числа π.

В пределе бесконечно большого числа сторон многоугольников верхняя и нижняя границы неравенств будут сходиться к π. К сожалению, этот предел не такой простой, как у фигуры с фестонами, превратившейся в прямоугольник. Число π становится неуловимее, чем когда бы то ни было ранее60. В настоящее время посчитано его значение более чем с 2,7 триллиона знаков, но вы никогда не будете знать его точно.

Помимо того что Архимед заложил основу для интегрального исчисления, он показал нам силу пошагового приближения. Прошло более двух тысячелетий, и эта стратегия развилась в современных методах численного анализа61. Когда инженеры используют компьютеры для проектирования оптимально обтекаемого автомобиля или биофизики моделируют новый препарат химиотерапии в качестве защелки на раковую клетку, они используют численный анализ.

Математики и программисты, ставшие пионерами в области применения этого метода, создали высокоэффективные алгоритмы, которые можно выполнять миллиарды раз в секунду, что позволяет компьютерам решать задачи из всех областей современной жизни — от биотехнологий до Уолл-стрит и интернета. В каждом случае используется стратегия нахождения ряда приближений, сходящегося в пределе к правильному ответу.