Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Судя по всему, тригонометрия ведет происхождение от астрономии, где относительно просто измерить углы, но очень трудно – невообразимые расстояния. Греческий астроном Аристарх в своем труде, датируемом примерно 260 г. до н. э., «О величинах и расстояниях Солнца и Луны», определил, что Солнце удалено от Земли на расстояние, от 18 до 20 раз большее, чем расстояние от Земли до Луны. (Точная цифра ближе к 400, но Евдокс Книдский и Фидий доказывали, что верное число – 10.) Его объяснение было таково: когда Луна достигает половины полного размера, угол между направлениями от наблюдателя к Солнцу и Луне равен примерно 87° (в современных единицах). Используя свойства треугольников, что равнозначно тригонометрической оценке, он определил (в современных единицах), что величина sin 3° лежит между ¹/₁₈ и ¹/₂₀, что приводит к оценке соотношения расстояний до Солнца и до Луны. Сам метод был верен, не хватало точности наблюдений: точный угол равен 89,8°.

Положение Солнца, Луны и Земли, когда освещена половина Луны

Первые тригонометрические таблицы составил Гиппарх примерно в 150 г. до н. э. Вместо современной функции синуса он использовал очень близкое понятие, что с геометрической точки зрения было совершенно естественным. Представьте себе круг с двумя радиусами, которые образуют угол θ. Конечные точки радиусов на окружности можно соединить прямой, называемой хорда. Также их можно принять как конечные точки дуги окружности.

Дуга и хорда, соответствующие углу θ

Гиппарх составил таблицу соответствующих длин дуг и хорд для углов разной величины. Если радиус круга равен 1, то длина дуги равна θ в радианах. Простые геометрические построения демонстрируют, что длина хорды в современной нотации равна 2sin ^θ/₂. Итак, мы видим, что вычисления Гиппарха очень близко подводят нас к таблице синусов, хотя они и не были представлены именно в таком виде.

Астрономия

Любопытно, что первые труды по тригонометрии были гораздо сложнее, чем большая часть материала, преподаваемого сегодня в школе, и снова благодаря астрономии (и позже навигации). Здесь мы имеем дело с естественным пространством, которое представляет собой не плоскость, а сферу. Небесные тела можно представить расположенными на воображаемой гигантской сфере. И самым точным представлением о небе будет его внутренняя поверхность, окружающая наблюдателя: на таком расстоянии действительно может показаться, что они лежат на этой сфере.

Как следствие, астрономические вычисления связаны с геометрией сферы, а не плоскости. Соответственно, и требования к ним определяются не плоскостной геометрией и тригонометрией, а геометрией и тригонометрией сферы. Одной из самых ранних работ на эту тему считают сочинение Менелая «Сферика» примерно 100 г. н. э. Пример одной из его теорем, не имеющей аналогов в геометрии Евклида, таков: если два треугольника имеют одинаковые углы, то они конгруэнтны – т. е. совпадают как по размеру, так и по форме (по Евклиду они подобны: имеют одну форму, но, возможно, разные размеры). В сферической геометрии сумма углов треугольника превышает 180°. Например, треугольник, чьи вершины лежат на Северном полюсе и двух точках экватора, разнесенных на 90°, явно имеет три прямых угла, т. е. их сумма равна 270°. И чем больше размеры треугольника, тем больше сумма его углов. Фактически эта сумма минус 180° пропорциональна общей площади треугольника.

Эти примеры показывают, что геометрия сферы имеет свои характеристики и необычные черты. То же относится и к сферической тригонометрии, хотя и здесь основными остаются стандартные тригонометрические функции. Меняются только формулы.

Птолемей

Безусловно, вершиной тригонометрической мысли античности является текст Птолемея Александрийского Megale syntaxis («Великое построение»), датируемый примерно 150 г. н. э. Он больше известен как «Альмагест», что по-арабски означает «величайший», и включает тригонометрические таблицы, снова изложенные в понятиях хорд, вместе с методами вычисления их размеров, а также описание положений светил на небесной сфере. Превосходным примером сложнейшего хода мысли Птолемея служит его теорема, согласно которой если четырехугольник ABCD вписан в окружность (его вершины лежат на этой окружности), то

AB × CD + BC × DA = AC × BD

(произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон).

Четырехугольник, вписанный в окружность, и его диагонали

Современная интерпретация этого факта – знаменитая пара формул:

sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ,

cos (θ + φ) = cos θ cos φ – sin θ sin φ.