Великая Теорема Ферма

Ленглендс охотно обсуждал свой план построения математики будущего (который впоследствии стали называть программой Ленглендса) и пытался привлечь других математиков к участию в доказательстве множества своих гипотез. Никаких путей, ведущих к цели не было видно, но если бы мечта Ленглендса все же осуществилась, то награда была бы грандиозной. Любую неразрешимую проблему в одной области математики можно было бы трансформировать в аналогичную проблему из другой области, где для ее решения имелся бы целый новый арсенал методов.[17] В случае неудачи эту проблему можно было бы перенести еще в какую-нибудь другую область математики, и так далее — до тех пор, пока наконец она не будет решена. В один прекрасный день, как надеялся автор программы Ленглендс, математики смогут решить самые трудные и тонкие проблемы, перенеся их в более подходящее место математического ландшафта.

Важные следствия программа Ленглендса могла бы иметь и для прикладных наук и техники. Идет ли речь о моделировании взаимодействий между сталкивающимися кварками, или о выяснении наиболее эффективного варианта организации телекоммуникационной сети, часто ключом к решению проблемы служит выполнение математических расчетов. В некоторых разделах физики и техники сложность вычислений столь высока, что служит серьезнейшим препятствием на пути к прогрессу. Если бы математики могли доказать «мостообразующие» гипотезы из программы Ленглендса, то появились бы пути решения не только абстрактных, но и практических проблем реального мира.

К 70-м годам программа Ленглендса стала своего рода перспективным планом развития математики, но «путь в рай», о котором может только мечтать каждый любитель решать задачи, был закрыт весьма простым обстоятельством: никто не имел ни малейшего представления о том, как можно было бы доказать любую из гипотез Ленглендса. Первым шагом к осуществлению программы Ленглендса могло бы стать доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры, но и оно пока было неосуществимо.

Несмотря на это, гипотеза Таниямы-Шимуры упоминалась в сотнях математических статей, авторы которых рассуждали о том, что произошло бы, если бы ее удалось доказать. Такие статьи начинались с преамбулы: «Предположим, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна…» Далее следовал набросок решения какой-нибудь нерешенной задачи. Разумеется, полученные в таких работах результаты были не более чем гипотетическими. В свою очередь, эти результаты включались как предположения в другие результаты, и т. д. Возникла обширная математическая «страна», опиравшаяся только на истинность гипотезы Таниямы-Шимуры. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого нового здания в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы-Шимуры не была доказана, все здание могло рухнуть в любой момент.

В то время Эндрю Уайлс был молодым аспирантом Кембриджского университета, и он отчетливо вспоминает тревогу, которая охватила математическое сообщество в 70-е годы: «Мы строили все новые и новые гипотезы, простиравшиеся все дальше и дальше в будущее, но все это обратилось бы в прах, окажись гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Нам было необходимо доказать ее, чтобы продемонстрировать обоснованность плана, который мы с таким энтузиазмом наметили на будущее».

Математики сложили хрупкий карточный домик. Они мечтали о том, что в один прекрасный день удастся подвести под это сооружение надежный фундамент. Их неотвязно мучил кошмар: кто-нибудь мог доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна, и тем самым свести на нет плоды математических исследований на протяжении двух десятков лет.

Недостающее звено

Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде. Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании гипотезы Таниямы-Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению, если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма.

Когда Фрею предоставили слово для доклада, он начал с того, что выписал уравнение Ферма

xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n — натуральное число больше 2.

Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Фрей исследовал вопрос о том, что бы произошло, если бы Великая теорема Ферма оказалась неверной, т. е. если бы уравнение Ферма допускало бы по крайней мере одно решение в целых числах. Фрей не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, B и C. Тем самым он предположил, что для некоторого N выполнено равенство:

A^N + B^N = C^N.